Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7684 / 8708
↖ ↑ ↗
← S 11.264612°
W 11.162109°		 ← 2 396.21 m → S 11.264612°
W 11.140136°		 →
↑
2 396.13 m
↓
↑
2 396.13 m
↓
S 11.286161°
W 11.162109°		 ← 2 396.03 m →
5 741 423 m²		 S 11.286161°
W 11.140136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469024658203125 y=0.531524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469024658203125 × 214)
    floor (0.469024658203125 × 16384)
    floor (7684.5)     		tx = 7684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531524658203125 × 214)
    floor (0.531524658203125 × 16384)
    floor (8708.5)     		ty = 8708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7684 / 8708 ti = "14/7684/8708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7684/8708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7684 ÷ 214
    7684 ÷ 16384     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8708 ÷ 214
    8708 ÷ 16384     		y = 0.531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197883521631592))-π/2
    2×atan(0.820465414045097)-π/2
    2×0.687095877365939-π/2
    1.37419175473188-1.57079632675     		φ = -0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7684 KachelY 8708 -0.19481556 -0.19660457 -11.162109 -11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 7685 KachelY 8708 -0.19443206 -0.19660457 -11.140136 -11.264612
    Unten links KachelX 7684 KachelY + 1 8709 -0.19481556 -0.19698067 -11.162109 -11.286161
    Unten rechts KachelX + 1 7685 KachelY + 1 8709 -0.19443206 -0.19698067 -11.140136 -11.286161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19660457--0.19698067) × R
    0.00037609999999999 × 6371000     		dl = 2396.13309999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19660457--0.19698067) × R
    0.00037609999999999 × 6371000     		dr = 2396.13309999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19443206) × cos(-0.19660457) × R
    0.000383500000000009 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 2396.20994860629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19443206) × cos(-0.19698067) × R
    0.000383500000000009 × 0.980661957887019 × 6371000     		du = 2396.03027747331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19660457)-sin(-0.19698067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.980661957887019)×R²
    abs(-0.19443206--0.19481556)×7.35369025571808e-05×R²
    0.000383500000000009×7.35369025571808e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.35369025571808e-05×40589641000000     		ar = 5741422.78210777m²