Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7696 / 7696
↖ ↑ ↗
← N 10.833306°
W 10.898438°		 ← 2 399.73 m → N 10.833306°
W 10.876465°		 →
↑
2 399.83 m
↓
↑
2 399.83 m
↓
N 10.811724°
W 10.898438°		 ← 2 399.91 m →
5 759 159 m²		 N 10.811724°
W 10.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469757080078125 y=0.469757080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469757080078125 × 214)
    floor (0.469757080078125 × 16384)
    floor (7696.5)     		tx = 7696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469757080078125 × 214)
    floor (0.469757080078125 × 16384)
    floor (7696.5)     		ty = 7696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7696 / 7696 ti = "14/7696/7696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7696/7696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7696 ÷ 214
    7696 ÷ 16384     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7696 ÷ 214
    7696 ÷ 16384     		y = 0.4697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190213617692383))-π/2
    2×atan(1.20950794235833)-π/2
    2×0.879936592540061-π/2
    1.75987318508012-1.57079632675     		φ = 0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7696 KachelY 7696 -0.19021362 0.18907686 -10.898438 10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 7697 KachelY 7696 -0.18983012 0.18907686 -10.876465 10.833306
    Unten links KachelX 7696 KachelY + 1 7697 -0.19021362 0.18870018 -10.898438 10.811724
    Unten rechts KachelX + 1 7697 KachelY + 1 7697 -0.18983012 0.18870018 -10.876465 10.811724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18907686-0.18870018) × R
    0.000376680000000018 × 6371000     		dl = 2399.82828000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18907686-0.18870018) × R
    0.000376680000000018 × 6371000     		dr = 2399.82828000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18983012) × cos(0.18907686) × R
    0.000383500000000009 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 2399.73478117266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18983012) × cos(0.18870018) × R
    0.000383500000000009 × 0.982248888053325 × 6371000     		du = 2399.90758982965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18907686)-sin(0.18870018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982248888053325)×R²
    abs(-0.18983012--0.19021362)×7.0728186325586e-05×R²
    0.000383500000000009×7.0728186325586e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.0728186325586e-05×40589641000000     		ar = 5759158.81600502m²