Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 773 / 773
↖ ↑ ↗
← S 67.204032°
E 91.757812°		 ← 15.146 km → S 67.204032°
E 92.109375°		 →
↑
15.103 km
↓
↑
15.103 km
↓
S 67.339861°
E 91.757812°		 ← 15.061 km →
228.115 km²		 S 67.339861°
E 92.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75537109375 y=0.75537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75537109375 × 210)
    floor (0.75537109375 × 1024)
    floor (773.5)     		tx = 773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75537109375 × 210)
    floor (0.75537109375 × 1024)
    floor (773.5)     		ty = 773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 773 / 773 ti = "10/773/773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/773/773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 773 ÷ 210
    773 ÷ 1024     		x = 0.7548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 773 ÷ 210
    773 ÷ 1024     		y = 0.7548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60147594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    -0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60147594} λ = 1.60147594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60147594250684))-π/2
    2×atan(0.201598750139937)-π/2
    2×0.198932345901764-π/2
    0.397864691803527-1.57079632675     		φ = -1.17293163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60147594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.757812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17293163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.204032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 773 KachelY 773 1.60147594 -1.17293163 91.757812 -67.204032
    Oben rechts KachelX + 1 774 KachelY 773 1.60761187 -1.17293163 92.109375 -67.204032
    Unten links KachelX 773 KachelY + 1 774 1.60147594 -1.17530229 91.757812 -67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 774 KachelY + 1 774 1.60761187 -1.17530229 92.109375 -67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17293163--1.17530229) × R
    0.00237066000000019 × 6371000     		dl = 15103.4748600012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17293163--1.17530229) × R
    0.00237066000000019 × 6371000     		dr = 15103.4748600012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60147594-1.60761187) × cos(-1.17293163) × R
    0.0061359299999999 × 0.387450711530649 × 6371000     		do = 15146.2271012865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60147594-1.60761187) × cos(-1.17530229) × R
    0.0061359299999999 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 15060.7494723675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17293163)-sin(-1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450711530649-0.385264136093535)×R²
    abs(1.60761187-1.60147594)×0.00218657543711431×R²
    0.0061359299999999×0.00218657543711431×6371000²
    0.0061359299999999×0.00218657543711431×40589641000000     		ar = 228115262.472981m²