Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7744 / 7744
↖ ↑ ↗
← N  9.795678°
W  9.843750°		 ← 2 407.66 m → N  9.795678°
W  9.821777°		 →
↑
2 407.73 m
↓
↑
2 407.73 m
↓
N  9.774025°
W  9.843750°		 ← 2 407.81 m →
5 797 174 m²		 N  9.774025°
W  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472686767578125 y=0.472686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472686767578125 × 214)
    floor (0.472686767578125 × 16384)
    floor (7744.5)     		tx = 7744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472686767578125 × 214)
    floor (0.472686767578125 × 16384)
    floor (7744.5)     		ty = 7744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7744 / 7744 ti = "14/7744/7744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7744/7744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7744 ÷ 214
    7744 ÷ 16384     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7744 ÷ 214
    7744 ÷ 16384     		y = 0.47265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47265625 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.171805848238281))-π/2
    2×atan(1.18744726585349)-π/2
    2×0.870881576537118-π/2
    1.74176315307424-1.57079632675     		φ = 0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7744 KachelY 7744 -0.17180585 0.17096683 -9.843750 9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 7745 KachelY 7744 -0.17142235 0.17096683 -9.821777 9.795678
    Unten links KachelX 7744 KachelY + 1 7745 -0.17180585 0.17058891 -9.843750 9.774025
    Unten rechts KachelX + 1 7745 KachelY + 1 7745 -0.17142235 0.17058891 -9.821777 9.774025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17096683-0.17058891) × R
    0.000377919999999976 × 6371000     		dl = 2407.72831999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17096683-0.17058891) × R
    0.000377919999999976 × 6371000     		dr = 2407.72831999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17142235) × cos(0.17096683) × R
    0.000383500000000009 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 2407.65729704331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17142235) × cos(0.17058891) × R
    0.000383500000000009 × 0.985484962830351 × 6371000     		du = 2407.81422175675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17096683)-sin(0.17058891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985484962830351)×R²
    abs(-0.17142235--0.17180585)×6.42271085506962e-05×R²
    0.000383500000000009×6.42271085506962e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.42271085506962e-05×40589641000000     		ar = 5797173.64398182m²