Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 775 / 777
↖ ↑ ↗
← S 67.742759°
E 92.460938°		 ← 14.807 km → S 67.742759°
E 92.812500°		 →
↑
14.765 km
↓
↑
14.765 km
↓
S 67.875541°
E 92.460938°		 ← 14.723 km →
217.997 km²		 S 67.875541°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75732421875 y=0.75927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75732421875 × 210)
    floor (0.75732421875 × 1024)
    floor (775.5)     		tx = 775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75927734375 × 210)
    floor (0.75927734375 × 1024)
    floor (777.5)     		ty = 777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 775 / 777 ti = "10/775/777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/775/777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 775 ÷ 210
    775 ÷ 1024     		x = 0.7568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 777 ÷ 210
    777 ÷ 1024     		y = 0.7587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61374779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    -0.517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6260196351123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61374779} λ = 1.61374779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6260196351123))-π/2
    2×atan(0.196710999471531)-π/2
    2×0.194231068356987-π/2
    0.388462136713974-1.57079632675     		φ = -1.18233419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61374779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18233419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.742759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 775 KachelY 777 1.61374779 -1.18233419 92.460938 -67.742759
    Oben rechts KachelX + 1 776 KachelY 777 1.61988371 -1.18233419 92.812500 -67.742759
    Unten links KachelX 775 KachelY + 1 778 1.61374779 -1.18465168 92.460938 -67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 776 KachelY + 1 778 1.61988371 -1.18465168 92.812500 -67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18233419--1.18465168) × R
    0.00231749000000003 × 6371000     		dl = 14764.7287900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18233419--1.18465168) × R
    0.00231749000000003 × 6371000     		dr = 14764.7287900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61374779-1.61988371) × cos(-1.18233419) × R
    0.00613592000000018 × 0.378765582495472 × 6371000     		do = 14806.683818777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61374779-1.61988371) × cos(-1.18465168) × R
    0.00613592000000018 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 14722.798946048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18233419)-sin(-1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378765582495472-0.376619747339496)×R²
    abs(1.61988371-1.61374779)×0.00214583515597666×R²
    0.00613592000000018×0.00214583515597666×6371000²
    0.00613592000000018×0.00214583515597666×40589641000000     		ar = 217997499.733511m²