Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 776 / 760
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 92.812500°		 ← 16.294 km → S 65.366837°
E 93.164063°		 →
↑
16.248 km
↓
↑
16.248 km
↓
S 65.512963°
E 92.812500°		 ← 16.203 km →
264.012 km²		 S 65.512963°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75830078125 y=0.74267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75830078125 × 210)
    floor (0.75830078125 × 1024)
    floor (776.5)     		tx = 776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74267578125 × 210)
    floor (0.74267578125 × 1024)
    floor (760.5)     		ty = 760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 776 / 760 ti = "10/776/760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/776/760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 776 ÷ 210
    776 ÷ 1024     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 760 ÷ 210
    760 ÷ 1024     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 776 KachelY 760 1.61988371 -1.14086653 92.812500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 777 KachelY 760 1.62601964 -1.14086653 93.164063 -65.366837
    Unten links KachelX 776 KachelY + 1 761 1.61988371 -1.14341690 92.812500 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 777 KachelY + 1 761 1.62601964 -1.14341690 93.164063 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14341690) × R
    0.00255037000000002 × 6371000     		dl = 16248.4072700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14341690) × R
    0.00255037000000002 × 6371000     		dr = 16248.4072700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(-1.14086653) × R
    0.0061359299999999 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 16293.8229981988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62601964) × cos(-1.14341690) × R
    0.0061359299999999 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 16203.14413053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.414487362458354)×R²
    abs(1.62601964-1.61988371)×0.00231962663468055×R²
    0.0061359299999999×0.00231962663468055×6371000²
    0.0061359299999999×0.00231962663468055×40589641000000     		ar = 264012121.576809m²