Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77824 / 61440
↖ ↑ ↗
← N 11.178402°
E 33.750000°		 ← 299.63 m → N 11.178402°
E 33.752747°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
N 11.175707°
E 33.750000°		 ← 299.63 m →
89 778 m²		 N 11.175707°
E 33.752747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593753814697266 y=0.468753814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593753814697266 × 217)
    floor (0.593753814697266 × 131072)
    floor (77824.5)     		tx = 77824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468753814697266 × 217)
    floor (0.468753814697266 × 131072)
    floor (61440.5)     		ty = 61440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77824 / 61440 ti = "17/77824/61440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77824/61440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77824 ÷ 217
    77824 ÷ 131072     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61440 ÷ 217
    61440 ÷ 131072     		y = 0.46875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46875 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Φ = 0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19634954084375))-π/2
    2×atan(1.21695220550081)-π/2
    2×0.882948122298382-π/2
    1.76589624459676-1.57079632675     		φ = 0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77824 KachelY 61440 0.58904862 0.19509992 33.750000 11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 77825 KachelY 61440 0.58909656 0.19509992 33.752747 11.178402
    Unten links KachelX 77824 KachelY + 1 61441 0.58904862 0.19505289 33.750000 11.175707
    Unten rechts KachelX + 1 77825 KachelY + 1 61441 0.58909656 0.19505289 33.752747 11.175707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19509992-0.19505289) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19509992-0.19505289) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58909656) × cos(0.19509992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 299.631295557249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58909656) × cos(0.19505289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98103741986538 × 6371000     		du = 299.634079929878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19509992)-sin(0.19505289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.98103741986538)×R²
    abs(0.58909656-0.58904862)×9.11636533706961e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.11636533706961e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.11636533706961e-06×40589641000000     		ar = 89778.3819320172m²