Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77826 / 61442
↖ ↑ ↗
← N 11.173013°
E 33.755493°		 ← 299.57 m → N 11.173013°
E 33.758240°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
N 11.170318°
E 33.755493°		 ← 299.58 m →
89 761 m²		 N 11.170318°
E 33.758240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593769073486328 y=0.468769073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593769073486328 × 217)
    floor (0.593769073486328 × 131072)
    floor (77826.5)     		tx = 77826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468769073486328 × 217)
    floor (0.468769073486328 × 131072)
    floor (61442.5)     		ty = 61442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77826 / 61442 ti = "17/77826/61442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77826/61442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77826 ÷ 217
    77826 ÷ 131072     		x = 0.593765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61442 ÷ 217
    61442 ÷ 131072     		y = 0.468765258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593765258789062 × 2 - 1) × π
    0.187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58914450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468765258789062 × 2 - 1) × π
    0.062469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.19625366704451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58914450} λ = 0.58914450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19625366704451))-π/2
    2×atan(1.21683553726218)-π/2
    2×0.882901094406081-π/2
    1.76580218881216-1.57079632675     		φ = 0.19500586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58914450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19500586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.173013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77826 KachelY 61442 0.58914450 0.19500586 33.755493 11.173013
    Oben rechts KachelX + 1 77827 KachelY 61442 0.58919243 0.19500586 33.758240 11.173013
    Unten links KachelX 77826 KachelY + 1 61443 0.58914450 0.19495883 33.755493 11.170318
    Unten rechts KachelX + 1 77827 KachelY + 1 61443 0.58919243 0.19495883 33.758240 11.170318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19500586-0.19495883) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19500586-0.19495883) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58914450-0.58919243) × cos(0.19500586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981046534060838 × 6371000     		do = 299.574361165465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58914450-0.58919243) × cos(0.19495883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981055646086397 × 6371000     		du = 299.577143632087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19500586)-sin(0.19495883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981046534060838-0.981055646086397)×R²
    abs(0.58919243-0.58914450)×9.11202555875512e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.11202555875512e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.11202555875512e-06×40589641000000     		ar = 89761.3225011664m²