Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77832 / 61448
↖ ↑ ↗
← N 11.156845°
E 33.771973°		 ← 299.59 m → N 11.156845°
E 33.774719°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
N 11.154150°
E 33.771973°		 ← 299.59 m →
89 766 m²		 N 11.154150°
E 33.774719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593814849853516 y=0.468814849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593814849853516 × 217)
    floor (0.593814849853516 × 131072)
    floor (77832.5)     		tx = 77832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468814849853516 × 217)
    floor (0.468814849853516 × 131072)
    floor (61448.5)     		ty = 61448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77832 / 61448 ti = "17/77832/61448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77832/61448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77832 ÷ 217
    77832 ÷ 131072     		x = 0.59381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61448 ÷ 217
    61448 ÷ 131072     		y = 0.46881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    0.0623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.19596604564679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58943212} λ = 0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19596604564679))-π/2
    2×atan(1.21648559965134)-π/2
    2×0.88276000548871-π/2
    1.76552001097742-1.57079632675     		φ = 0.19472368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19472368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.156845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77832 KachelY 61448 0.58943212 0.19472368 33.771973 11.156845
    Oben rechts KachelX + 1 77833 KachelY 61448 0.58948005 0.19472368 33.774719 11.156845
    Unten links KachelX 77832 KachelY + 1 61449 0.58943212 0.19467665 33.771973 11.154150
    Unten rechts KachelX + 1 77833 KachelY + 1 61449 0.58948005 0.19467665 33.774719 11.154150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19472368-0.19467665) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19472368-0.19467665) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58943212-0.58948005) × cos(0.19472368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981101173664997 × 6371000     		do = 299.591046025909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58943212-0.58948005) × cos(0.19467665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981110272670737 × 6371000     		du = 299.593824516773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19472368)-sin(0.19467665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981101173664997-0.981110272670737)×R²
    abs(0.58948005-0.58943212)×9.09900574030953e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.09900574030953e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.09900574030953e-06×40589641000000     		ar = 89766.3211590701m²