Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77832 / 77832
↖ ↑ ↗
← S 31.970804°
E 33.771973°		 ← 259.04 m → S 31.970804°
E 33.774719°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 31.973134°
E 33.771973°		 ← 259.04 m →
67 120 m²		 S 31.973134°
E 33.774719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593814849853516 y=0.593814849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593814849853516 × 217)
    floor (0.593814849853516 × 131072)
    floor (77832.5)     		tx = 77832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593814849853516 × 217)
    floor (0.593814849853516 × 131072)
    floor (77832.5)     		ty = 77832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77832 / 77832 ti = "17/77832/77832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77832/77832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77832 ÷ 217
    77832 ÷ 131072     		x = 0.59381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77832 ÷ 217
    77832 ÷ 131072     		y = 0.59381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58943212} λ = 0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58943211772821))-π/2
    2×atan(0.554642166771778)-π/2
    2×0.506400266856793-π/2
    1.01280053371359-1.57079632675     		φ = -0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77832 KachelY 77832 0.58943212 -0.55799579 33.771973 -31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 77833 KachelY 77832 0.58948005 -0.55799579 33.774719 -31.970804
    Unten links KachelX 77832 KachelY + 1 77833 0.58943212 -0.55803646 33.771973 -31.973134
    Unten rechts KachelX + 1 77833 KachelY + 1 77833 0.58948005 -0.55803646 33.774719 -31.973134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55799579--0.55803646) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55799579--0.55803646) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58943212-0.58948005) × cos(-0.55799579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 259.044111860484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58943212-0.58948005) × cos(-0.55803646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.84829648239927 × 6371000     		du = 259.037535907459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55799579)-sin(-0.55803646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.84829648239927)×R²
    abs(0.58948005-0.58943212)×2.15349401023746e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15349401023746e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15349401023746e-05×40589641000000     		ar = 67119.6974575115m²