Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77856 / 69664
↖ ↑ ↗
← S 11.264612°
E 33.837890°		 ← 299.54 m → S 11.264612°
E 33.840637°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.267306°
E 33.837890°		 ← 299.54 m →
89 732 m²		 S 11.267306°
E 33.840637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593997955322266 y=0.531497955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593997955322266 × 217)
    floor (0.593997955322266 × 131072)
    floor (77856.5)     		tx = 77856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531497955322266 × 217)
    floor (0.531497955322266 × 131072)
    floor (69664.5)     		ty = 69664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77856 / 69664 ti = "17/77856/69664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77856/69664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77856 ÷ 217
    77856 ÷ 131072     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69664 ÷ 217
    69664 ÷ 131072     		y = 0.531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197883521631592))-π/2
    2×atan(0.820465414045097)-π/2
    2×0.687095877365939-π/2
    1.37419175473188-1.57079632675     		φ = -0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77856 KachelY 69664 0.59058260 -0.19660457 33.837890 -11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 77857 KachelY 69664 0.59063054 -0.19660457 33.840637 -11.264612
    Unten links KachelX 77856 KachelY + 1 69665 0.59058260 -0.19665159 33.837890 -11.267306
    Unten rechts KachelX + 1 77857 KachelY + 1 69665 0.59063054 -0.19665159 33.840637 -11.267306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19660457--0.19665159) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dl = 299.564419999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19660457--0.19665159) × R
    4.7019999999981e-05 × 6371000     		dr = 299.564419999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59063054) × cos(-0.19660457) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 299.54186424087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59063054) × cos(-0.19665159) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.980726308797734 × 6371000     		du = 299.539058602514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19660457)-sin(-0.19665159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.980726308797734)×R²
    abs(0.59063054-0.59058260)×9.18599184174251e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.18599184174251e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.18599184174251e-06×40589641000000     		ar = 89731.6646088251m²