Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77888 / 61504
↖ ↑ ↗
← N 11.005904°
E 33.925781°		 ← 299.81 m → N 11.005904°
E 33.928528°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
N 11.003208°
E 33.925781°		 ← 299.81 m →
89 889 m²		 N 11.003208°
E 33.928528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594242095947266 y=0.469242095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594242095947266 × 217)
    floor (0.594242095947266 × 131072)
    floor (77888.5)     		tx = 77888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469242095947266 × 217)
    floor (0.469242095947266 × 131072)
    floor (61504.5)     		ty = 61504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77888 / 61504 ti = "17/77888/61504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77888/61504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77888 ÷ 217
    77888 ÷ 131072     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61504 ÷ 217
    61504 ÷ 131072     		y = 0.46923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193281579268066))-π/2
    2×atan(1.21322436425573)-π/2
    2×0.881442798385229-π/2
    1.76288559677046-1.57079632675     		φ = 0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77888 KachelY 61504 0.59211658 0.19208927 33.925781 11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 77889 KachelY 61504 0.59216452 0.19208927 33.928528 11.005904
    Unten links KachelX 77888 KachelY + 1 61505 0.59211658 0.19204221 33.925781 11.003208
    Unten rechts KachelX + 1 77889 KachelY + 1 61505 0.59216452 0.19204221 33.928528 11.003208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19208927-0.19204221) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dl = 299.819260000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19208927-0.19204221) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dr = 299.819260000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59216452) × cos(0.19208927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 299.808201637847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59216452) × cos(0.19204221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.981616498078088 × 6371000     		du = 299.810945321512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19208927)-sin(0.19204221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.981616498078088)×R²
    abs(0.59216452-0.59211658)×8.98314485486829e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.98314485486829e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.98314485486829e-06×40589641000000     		ar = 89888.6844782152m²