Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78080 / 69888
↖ ↑ ↗
← S 11.867351°
E 34.453125°		 ← 298.90 m → S 11.867351°
E 34.455872°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
S 11.870039°
E 34.453125°		 ← 298.89 m →
89 329 m²		 S 11.870039°
E 34.455872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595706939697266 y=0.533206939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595706939697266 × 217)
    floor (0.595706939697266 × 131072)
    floor (78080.5)     		tx = 78080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533206939697266 × 217)
    floor (0.533206939697266 × 131072)
    floor (69888.5)     		ty = 69888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78080 / 69888 ti = "17/78080/69888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78080/69888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78080 ÷ 217
    78080 ÷ 131072     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69888 ÷ 217
    69888 ÷ 131072     		y = 0.533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533203125 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208621387146484))-π/2
    2×atan(0.811702498472065)-π/2
    2×0.681835989953108-π/2
    1.36367197990622-1.57079632675     		φ = -0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78080 KachelY 69888 0.60132047 -0.20712435 34.453125 -11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 78081 KachelY 69888 0.60136841 -0.20712435 34.455872 -11.867351
    Unten links KachelX 78080 KachelY + 1 69889 0.60132047 -0.20717126 34.453125 -11.870039
    Unten rechts KachelX + 1 78081 KachelY + 1 69889 0.60136841 -0.20717126 34.455872 -11.870039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20712435--0.20717126) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dl = 298.863609999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20712435--0.20717126) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dr = 298.863609999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60136841) × cos(-0.20712435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 298.897670341048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60136841) × cos(-0.20717126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978616679808226 × 6371000     		du = 298.894723606574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20712435)-sin(-0.20717126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.978616679808226)×R²
    abs(0.60136841-0.60132047)×9.64795722124823e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.64795722124823e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.64795722124823e-06×40589641000000     		ar = 89329.1964592385m²