Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 785 / 783
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E 95.976562°		 ← 14.309 km → S 68.528235°
E 96.328125°		 →
↑
14.269 km
↓
↑
14.269 km
↓
S 68.656555°
E 95.976562°		 ← 14.228 km →
203.592 km²		 S 68.656555°
E 96.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76708984375 y=0.76513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76708984375 × 210)
    floor (0.76708984375 × 1024)
    floor (785.5)     		tx = 785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76513671875 × 210)
    floor (0.76513671875 × 1024)
    floor (783.5)     		ty = 783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 785 / 783 ti = "10/785/783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/785/783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 785 ÷ 210
    785 ÷ 1024     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 783 ÷ 210
    783 ÷ 1024     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 785 KachelY 783 1.67510702 -1.19604333 95.976562 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 786 KachelY 783 1.68124294 -1.19604333 96.328125 -68.528235
    Unten links KachelX 785 KachelY + 1 784 1.67510702 -1.19828294 95.976562 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 786 KachelY + 1 784 1.68124294 -1.19828294 96.328125 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19828294) × R
    0.00223960999999995 × 6371000     		dl = 14268.5553099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19828294) × R
    0.00223960999999995 × 6371000     		dr = 14268.5553099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.68124294) × cos(-1.19604333) × R
    0.00613591999999996 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 14309.3207798033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.68124294) × cos(-1.19828294) × R
    0.00613591999999996 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 14227.8104363482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.363957586554578)×R²
    abs(1.68124294-1.67510702)×0.00208509299557119×R²
    0.00613591999999996×0.00208509299557119×6371000²
    0.00613591999999996×0.00208509299557119×40589641000000     		ar = 203591902.672112m²