Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7935 / 7936
↖ ↑ ↗
← N  5.615986°
W  5.646973°		 ← 2 431.55 m → N  5.615986°
W  5.625000°		 →
↑
2 431.56 m
↓
↑
2 431.56 m
↓
N  5.594118°
W  5.646973°		 ← 2 431.64 m →
5 912 563 m²		 N  5.594118°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484344482421875 y=0.484405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484344482421875 × 214)
    floor (0.484344482421875 × 16384)
    floor (7935.5)     		tx = 7935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484405517578125 × 214)
    floor (0.484405517578125 × 16384)
    floor (7936.5)     		ty = 7936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7935 / 7936 ti = "14/7935/7936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7935/7936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7935 ÷ 214
    7935 ÷ 16384     		x = 0.48431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7936 ÷ 214
    7936 ÷ 16384     		y = 0.484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484375 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Φ = 0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09855827} λ = -0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.098174770421875))-π/2
    2×atan(1.10315556722559)-π/2
    2×0.834406885040838-π/2
    1.66881377008168-1.57079632675     		φ = 0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7935 KachelY 7936 -0.09855827 0.09801744 -5.646973 5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 7936 KachelY 7936 -0.09817477 0.09801744 -5.625000 5.615986
    Unten links KachelX 7935 KachelY + 1 7937 -0.09855827 0.09763578 -5.646973 5.594118
    Unten rechts KachelX + 1 7936 KachelY + 1 7937 -0.09817477 0.09763578 -5.625000 5.594118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09801744-0.09763578) × R
    0.000381659999999992 × 6371000     		dl = 2431.55585999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09801744-0.09763578) × R
    0.000381659999999992 × 6371000     		dr = 2431.55585999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09855827--0.09817477) × cos(0.09801744) × R
    0.000383500000000009 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 2431.55109410209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09855827--0.09817477) × cos(0.09763578) × R
    0.000383500000000009 × 0.99523741241384 × 6371000     		du = 2431.64217214642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09801744)-sin(0.09763578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.99523741241384)×R²
    abs(-0.09817477--0.09855827)×3.72769802279294e-05×R²
    0.000383500000000009×3.72769802279294e-05×6371000²
    0.000383500000000009×3.72769802279294e-05×40589641000000     		ar = 5912563.11420018m²