Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8063 / 8575
↖ ↑ ↗
← S  8.385431°
W  2.834473°		 ← 2 417.10 m → S  8.385431°
W  2.812500°		 →
↑
2 417.09 m
↓
↑
2 417.09 m
↓
S  8.407168°
W  2.834473°		 ← 2 416.96 m →
5 842 183 m²		 S  8.407168°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492156982421875 y=0.523406982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492156982421875 × 214)
    floor (0.492156982421875 × 16384)
    floor (8063.5)     		tx = 8063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523406982421875 × 214)
    floor (0.523406982421875 × 16384)
    floor (8575.5)     		ty = 8575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8063 / 8575 ti = "14/8063/8575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8063/8575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8063 ÷ 214
    8063 ÷ 16384     		x = 0.49212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8575 ÷ 214
    8575 ÷ 16384     		y = 0.52337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.146878660435852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04947088} λ = -0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146878660435852))-π/2
    2×atan(0.863398735486791)-π/2
    2×0.712221473189271-π/2
    1.42444294637854-1.57079632675     		φ = -0.14635338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14635338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.385431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8063 KachelY 8575 -0.04947088 -0.14635338 -2.834473 -8.385431
    Oben rechts KachelX + 1 8064 KachelY 8575 -0.04908739 -0.14635338 -2.812500 -8.385431
    Unten links KachelX 8063 KachelY + 1 8576 -0.04947088 -0.14673277 -2.834473 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 8064 KachelY + 1 8576 -0.04908739 -0.14673277 -2.812500 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14635338--0.14673277) × R
    0.000379390000000007 × 6371000     		dl = 2417.09369000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14635338--0.14673277) × R
    0.000379390000000007 × 6371000     		dr = 2417.09369000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04947088--0.04908739) × cos(-0.14635338) × R
    0.00038349 × 0.989309446559684 × 6371000     		do = 2417.09547172134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04947088--0.04908739) × cos(-0.14673277) × R
    0.00038349 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 2416.96012201786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14635338)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989309446559684-0.989254048358907)×R²
    abs(-0.04908739--0.04947088)×5.5398200777379e-05×R²
    0.00038349×5.5398200777379e-05×6371000²
    0.00038349×5.5398200777379e-05×40589641000000     		ar = 5842182.70644374m²