Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8068 / 8324
↖ ↑ ↗
← S  2.899153°
W  2.724609°		 ← 2 440.09 m → S  2.899153°
W  2.702637°		 →
↑
2 440.09 m
↓
↑
2 440.09 m
↓
S  2.921097°
W  2.724609°		 ← 2 440.04 m →
5 953 983 m²		 S  2.921097°
W  2.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492462158203125 y=0.508087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492462158203125 × 214)
    floor (0.492462158203125 × 16384)
    floor (8068.5)     		tx = 8068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		ty = 8324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8068 / 8324 ti = "14/8068/8324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8068/8324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8068 ÷ 214
    8068 ÷ 16384     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		y = 0.508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(0.95063854647406)-π/2
    2×0.760098283344682-π/2
    1.52019656668936-1.57079632675     		φ = -0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8068 KachelY 8324 -0.04755340 -0.05059976 -2.724609 -2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 8069 KachelY 8324 -0.04716991 -0.05059976 -2.702637 -2.899153
    Unten links KachelX 8068 KachelY + 1 8325 -0.04755340 -0.05098276 -2.724609 -2.921097
    Unten rechts KachelX + 1 8069 KachelY + 1 8325 -0.04716991 -0.05098276 -2.702637 -2.921097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05059976--0.05098276) × R
    0.000383000000000001 × 6371000     		dl = 2440.09300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05059976--0.05098276) × R
    0.000383000000000001 × 6371000     		dr = 2440.09300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04716991) × cos(-0.05059976) × R
    0.00038349 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 2440.08773223903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04716991) × cos(-0.05098276) × R
    0.00038349 × 0.99870066056942 × 6371000     		du = 2440.04022468598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05059976)-sin(-0.05098276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.99870066056942)×R²
    abs(-0.04716991--0.04755340)×1.94446895310785e-05×R²
    0.00038349×1.94446895310785e-05×6371000²
    0.00038349×1.94446895310785e-05×40589641000000     		ar = 5953983.10618047m²