Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8129 / 8129
↖ ↑ ↗
← N  1.384143°
W  1.384277°		 ← 2 442.57 m → N  1.384143°
W  1.362305°		 →
↑
2 442.58 m
↓
↑
2 442.58 m
↓
N  1.362176°
W  1.384277°		 ← 2 442.59 m →
5 966 184 m²		 N  1.362176°
W  1.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496185302734375 y=0.496185302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496185302734375 × 214)
    floor (0.496185302734375 × 16384)
    floor (8129.5)     		tx = 8129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496185302734375 × 214)
    floor (0.496185302734375 × 16384)
    floor (8129.5)     		ty = 8129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8129 / 8129 ti = "14/8129/8129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8129/8129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8129 ÷ 214
    8129 ÷ 16384     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8129 ÷ 214
    8129 ÷ 16384     		y = 0.49615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0241601974085083))-π/2
    2×atan(1.0244544196891)-π/2
    2×0.797477087050424-π/2
    1.59495417410085-1.57079632675     		φ = 0.02415785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02415785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.384143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8129 KachelY 8129 -0.02416020 0.02415785 -1.384277 1.384143
    Oben rechts KachelX + 1 8130 KachelY 8129 -0.02377670 0.02415785 -1.362305 1.384143
    Unten links KachelX 8129 KachelY + 1 8130 -0.02416020 0.02377446 -1.384277 1.362176
    Unten rechts KachelX + 1 8130 KachelY + 1 8130 -0.02377670 0.02377446 -1.362305 1.362176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02415785-0.02377446) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dl = 2442.57769000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02415785-0.02377446) × R
    0.000383390000000001 × 6371000     		dr = 2442.57769000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02377670) × cos(0.02415785) × R
    0.000383499999999998 × 0.999708213332703 × 6371000     		do = 2442.5655839092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02377670) × cos(0.02377446) × R
    0.000383499999999998 × 0.999717400837238 × 6371000     		du = 2442.5880315415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02415785)-sin(0.02377446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999708213332703-0.999717400837238)×R²
    abs(-0.02377670--0.02416020)×9.18750453560158e-06×R²
    0.000383499999999998×9.18750453560158e-06×6371000²
    0.000383499999999998×9.18750453560158e-06×40589641000000     		ar = 5966183.68974109m²