Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8136 / 8392
↖ ↑ ↗
← S  4.390229°
W  1.230469°		 ← 2 436.05 m → S  4.390229°
W  1.208496°		 →
↑
2 436.02 m
↓
↑
2 436.02 m
↓
S  4.412137°
W  1.230469°		 ← 2 435.97 m →
5 934 159 m²		 S  4.412137°
W  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496612548828125 y=0.512237548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496612548828125 × 214)
    floor (0.496612548828125 × 16384)
    floor (8136.5)     		tx = 8136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.512237548828125 × 214)
    floor (0.512237548828125 × 16384)
    floor (8392.5)     		ty = 8392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8136 / 8392 ti = "14/8136/8392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8136/8392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8136 ÷ 214
    8136 ÷ 16384     		x = 0.49658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8392 ÷ 214
    8392 ÷ 16384     		y = 0.51220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    -0.0244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02147573} λ = -0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0766990393920898))-π/2
    2×atan(0.926168551916197)-π/2
    2×0.747086188557-π/2
    1.494172377114-1.57079632675     		φ = -0.07662395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07662395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.390229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8136 KachelY 8392 -0.02147573 -0.07662395 -1.230469 -4.390229
    Oben rechts KachelX + 1 8137 KachelY 8392 -0.02109224 -0.07662395 -1.208496 -4.390229
    Unten links KachelX 8136 KachelY + 1 8393 -0.02147573 -0.07700631 -1.230469 -4.412137
    Unten rechts KachelX + 1 8137 KachelY + 1 8393 -0.02109224 -0.07700631 -1.208496 -4.412137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07662395--0.07700631) × R
    0.000382359999999998 × 6371000     		dl = 2436.01555999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07662395--0.07700631) × R
    0.000382359999999998 × 6371000     		dr = 2436.01555999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02147573--0.02109224) × cos(-0.07662395) × R
    0.000383489999999997 × 0.997065821167897 × 6371000     		do = 2436.04596088088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02147573--0.02109224) × cos(-0.07700631) × R
    0.000383489999999997 × 0.997036479010726 × 6371000     		du = 2435.97427168851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07662395)-sin(-0.07700631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997065821167897-0.997036479010726)×R²
    abs(-0.02109224--0.02147573)×2.93421571707642e-05×R²
    0.000383489999999997×2.93421571707642e-05×6371000²
    0.000383489999999997×2.93421571707642e-05×40589641000000     		ar = 5934158.61988429m²