Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8160 / 8096
↖ ↑ ↗
← N  2.108899°
W  0.703125°		 ← 2 441.62 m → N  2.108899°
W  0.681152°		 →
↑
2 441.62 m
↓
↑
2 441.62 m
↓
N  2.086941°
W  0.703125°		 ← 2 441.66 m →
5 961 564 m²		 N  2.086941°
W  0.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498077392578125 y=0.494171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498077392578125 × 214)
    floor (0.498077392578125 × 16384)
    floor (8160.5)     		tx = 8160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494171142578125 × 214)
    floor (0.494171142578125 × 16384)
    floor (8096.5)     		ty = 8096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8160 / 8096 ti = "14/8160/8096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8160/8096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8160 ÷ 214
    8160 ÷ 16384     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8096 ÷ 214
    8096 ÷ 16384     		y = 0.494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494140625 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(1.03750162450371)-π/2
    2×0.803801775994266-π/2
    1.60760355198853-1.57079632675     		φ = 0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8160 KachelY 8096 -0.01227185 0.03680723 -0.703125 2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 8161 KachelY 8096 -0.01188835 0.03680723 -0.681152 2.108899
    Unten links KachelX 8160 KachelY + 1 8097 -0.01227185 0.03642399 -0.703125 2.086941
    Unten rechts KachelX + 1 8161 KachelY + 1 8097 -0.01188835 0.03642399 -0.681152 2.086941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03680723-0.03642399) × R
    0.00038324 × 6371000     		dl = 2441.62204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03680723-0.03642399) × R
    0.00038324 × 6371000     		dr = 2441.62204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01188835) × cos(0.03680723) × R
    0.0003835 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 2441.62364397184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01188835) × cos(0.03642399) × R
    0.0003835 × 0.999336719812646 × 6371000     		du = 2441.65792177876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03680723)-sin(0.03642399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999336719812646)×R²
    abs(-0.01188835--0.01227185)×1.40294309169953e-05×R²
    0.0003835×1.40294309169953e-05×6371000²
    0.0003835×1.40294309169953e-05×40589641000000     		ar = 5961564.02219715m²