Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8161 / 8287
↖ ↑ ↗
← S  2.086941°
W  0.681152°		 ← 2 441.59 m → S  2.086941°
W  0.659180°		 →
↑
2 441.62 m
↓
↑
2 441.62 m
↓
S  2.108899°
W  0.681152°		 ← 2 441.56 m →
5 961 409 m²		 S  2.108899°
W  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498138427734375 y=0.505828857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498138427734375 × 214)
    floor (0.498138427734375 × 16384)
    floor (8161.5)     		tx = 8161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505828857421875 × 214)
    floor (0.505828857421875 × 16384)
    floor (8287.5)     		ty = 8287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8161 / 8287 ti = "14/8161/8287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8161/8287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8161 ÷ 214
    8161 ÷ 16384     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8287 ÷ 214
    8287 ÷ 16384     		y = 0.50579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0364320437112427))-π/2
    2×atan(0.96422361672848)-π/2
    2×0.767186169874043-π/2
    1.53437233974809-1.57079632675     		φ = -0.03642399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03642399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.086941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8161 KachelY 8287 -0.01188835 -0.03642399 -0.681152 -2.086941
    Oben rechts KachelX + 1 8162 KachelY 8287 -0.01150486 -0.03642399 -0.659180 -2.086941
    Unten links KachelX 8161 KachelY + 1 8288 -0.01188835 -0.03680723 -0.681152 -2.108899
    Unten rechts KachelX + 1 8162 KachelY + 1 8288 -0.01150486 -0.03680723 -0.659180 -2.108899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03642399--0.03680723) × R
    0.00038324 × 6371000     		dl = 2441.62204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03642399--0.03680723) × R
    0.00038324 × 6371000     		dr = 2441.62204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01150486) × cos(-0.03642399) × R
    0.00038349 × 0.999336719812646 × 6371000     		do = 2441.59425403634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01150486) × cos(-0.03680723) × R
    0.00038349 × 0.999322690381729 × 6371000     		du = 2441.55997712323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03642399)-sin(-0.03680723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999336719812646-0.999322690381729)×R²
    abs(-0.01150486--0.01188835)×1.40294309169953e-05×R²
    0.00038349×1.40294309169953e-05×6371000²
    0.00038349×1.40294309169953e-05×40589641000000     		ar = 5961408.5707233m²