Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8186 / 8218
↖ ↑ ↗
← S  0.571280°
W  0.131836°		 ← 2 443.09 m → S  0.571280°
W  0.109864°		 →
↑
2 443.15 m
↓
↑
2 443.15 m
↓
S  0.593251°
W  0.131836°		 ← 2 443.08 m →
5 968 835 m²		 S  0.593251°
W  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499664306640625 y=0.501617431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499664306640625 × 214)
    floor (0.499664306640625 × 16384)
    floor (8186.5)     		tx = 8186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501617431640625 × 214)
    floor (0.501617431640625 × 16384)
    floor (8218.5)     		ty = 8218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8186 / 8218 ti = "14/8186/8218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8186/8218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8186 ÷ 214
    8186 ÷ 16384     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8218 ÷ 214
    8218 ÷ 16384     		y = 0.5015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5015869140625 × 2 - 1) × π
    -0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(0.990078669250721)-π/2
    2×0.780412808442239-π/2
    1.56082561688448-1.57079632675     		φ = -0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8186 KachelY 8218 -0.00230097 -0.00997071 -0.131836 -0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 8187 KachelY 8218 -0.00191748 -0.00997071 -0.109864 -0.571280
    Unten links KachelX 8186 KachelY + 1 8219 -0.00230097 -0.01035419 -0.131836 -0.593251
    Unten rechts KachelX + 1 8187 KachelY + 1 8219 -0.00191748 -0.01035419 -0.109864 -0.593251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00997071--0.01035419) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dl = 2443.15107999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00997071--0.01035419) × R
    0.000383479999999999 × 6371000     		dr = 2443.15107999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00191748) × cos(-0.00997071) × R
    0.00038349 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 2443.09334483622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00191748) × cos(-0.01035419) × R
    0.00038349 × 0.99994639585363 × 6371000     		du = 2443.08382355678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00997071)-sin(-0.01035419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.99994639585363)×R²
    abs(-0.00191748--0.00230097)×3.89702922343194e-06×R²
    0.00038349×3.89702922343194e-06×6371000²
    0.00038349×3.89702922343194e-06×40589641000000     		ar = 5968834.58616186m²