Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8194 / 8194
↖ ↑ ↗
← S  0.043945°
E  0.043945°		 ← 2 443.28 m → S  0.043945°
E  0.065918°		 →
↑
2 443.28 m
↓
↑
2 443.28 m
↓
S  0.065918°
E  0.043945°		 ← 2 443.28 m →
5 969 607 m²		 S  0.065918°
E  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500152587890625 y=0.500152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500152587890625 × 214)
    floor (0.500152587890625 × 16384)
    floor (8194.5)     		tx = 8194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500152587890625 × 214)
    floor (0.500152587890625 × 16384)
    floor (8194.5)     		ty = 8194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8194 / 8194 ti = "14/8194/8194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8194/8194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8194 ÷ 214
    8194 ÷ 16384     		x = 0.5001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8194 ÷ 214
    8194 ÷ 16384     		y = 0.5001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5001220703125 × 2 - 1) × π
    0.000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00076699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5001220703125 × 2 - 1) × π
    -0.000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.000766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00076699} λ = 0.00076699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.000766990393920898))-π/2
    2×atan(0.999233303668026)-π/2
    2×0.785014668238088-π/2
    1.57002933647618-1.57079632675     		φ = -0.00076699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00076699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00076699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.043945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8194 KachelY 8194 0.00076699 -0.00076699 0.043945 -0.043945
    Oben rechts KachelX + 1 8195 KachelY 8194 0.00115049 -0.00076699 0.065918 -0.043945
    Unten links KachelX 8194 KachelY + 1 8195 0.00076699 -0.00115049 0.043945 -0.065918
    Unten rechts KachelX + 1 8195 KachelY + 1 8195 0.00115049 -0.00115049 0.065918 -0.065918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00076699--0.00115049) × R
    0.0003835 × 6371000     		dl = 2443.2785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00076699--0.00115049) × R
    0.0003835 × 6371000     		dr = 2443.2785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00076699-0.00115049) × cos(-0.00076699) × R
    0.0003835 × 0.999999705863184 × 6371000     		do = 2443.27778134184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00076699-0.00115049) × cos(-0.00115049) × R
    0.0003835 × 0.999999338186453 × 6371000     		du = 2443.27688300519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00076699)-sin(-0.00115049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999705863184-0.999999338186453)×R²
    abs(0.00115049-0.00076699)×3.67676731394262e-07×R²
    0.0003835×3.67676731394262e-07×6371000²
    0.0003835×3.67676731394262e-07×40589641000000     		ar = 5969607.04840054m²