Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8196 / 8180
↖ ↑ ↗
← N  0.263671°
E  0.087891°		 ← 2 443.25 m → N  0.263671°
E  0.109864°		 →
↑
2 443.28 m
↓
↑
2 443.28 m
↓
N  0.241698°
E  0.087891°		 ← 2 443.26 m →
5 969 552 m²		 N  0.241698°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500274658203125 y=0.499298095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500274658203125 × 214)
    floor (0.500274658203125 × 16384)
    floor (8196.5)     		tx = 8196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499298095703125 × 214)
    floor (0.499298095703125 × 16384)
    floor (8180.5)     		ty = 8180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8196 / 8180 ti = "14/8196/8180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8196/8180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8196 ÷ 214
    8196 ÷ 16384     		x = 0.500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8180 ÷ 214
    8180 ÷ 16384     		y = 0.499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500244140625 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.00460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00153398} λ = 0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00460194236352539))-π/2
    2×atan(1.00461254756221)-π/2
    2×0.787699126457641-π/2
    1.57539825291528-1.57079632675     		φ = 0.00460193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00460193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.263671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8196 KachelY 8180 0.00153398 0.00460193 0.087891 0.263671
    Oben rechts KachelX + 1 8197 KachelY 8180 0.00191748 0.00460193 0.109864 0.263671
    Unten links KachelX 8196 KachelY + 1 8181 0.00153398 0.00421843 0.087891 0.241698
    Unten rechts KachelX + 1 8197 KachelY + 1 8181 0.00191748 0.00421843 0.109864 0.241698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00460193-0.00421843) × R
    0.0003835 × 6371000     		dl = 2443.2785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00460193-0.00421843) × R
    0.0003835 × 6371000     		dr = 2443.2785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00153398-0.00191748) × cos(0.00460193) × R
    0.0003835 × 0.999989411138825 × 6371000     		do = 2443.25262846315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00153398-0.00191748) × cos(0.00421843) × R
    0.0003835 × 0.999991102437362 × 6371000     		du = 2443.2567607765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00460193)-sin(0.00421843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999989411138825-0.999991102437362)×R²
    abs(0.00191748-0.00153398)×1.69129853710981e-06×R²
    0.0003835×1.69129853710981e-06×6371000²
    0.0003835×1.69129853710981e-06×40589641000000     		ar = 5969551.73855165m²