Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8206 / 8214
↖ ↑ ↗
← S  0.483392°
E  0.307617°		 ← 2 443.19 m → S  0.483392°
E  0.329590°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
S  0.505365°
E  0.307617°		 ← 2 443.18 m →
5 969 232 m²		 S  0.505365°
E  0.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500885009765625 y=0.501373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500885009765625 × 214)
    floor (0.500885009765625 × 16384)
    floor (8206.5)     		tx = 8206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501373291015625 × 214)
    floor (0.501373291015625 × 16384)
    floor (8214.5)     		ty = 8214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8206 / 8214 ti = "14/8206/8214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8206/8214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8206 ÷ 214
    8206 ÷ 16384     		x = 0.5008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8214 ÷ 214
    8214 ÷ 16384     		y = 0.5013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5008544921875 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00536893} λ = 0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00843689433312988))-π/2
    2×atan(0.991598596379266)-π/2
    2×0.781179766275672-π/2
    1.56235953255134-1.57079632675     		φ = -0.00843679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00843679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.483392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8206 KachelY 8214 0.00536893 -0.00843679 0.307617 -0.483392
    Oben rechts KachelX + 1 8207 KachelY 8214 0.00575243 -0.00843679 0.329590 -0.483392
    Unten links KachelX 8206 KachelY + 1 8215 0.00536893 -0.00882028 0.307617 -0.505365
    Unten rechts KachelX + 1 8207 KachelY + 1 8215 0.00575243 -0.00882028 0.329590 -0.505365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00843679--0.00882028) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00843679--0.00882028) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00536893-0.00575243) × cos(-0.00843679) × R
    0.0003835 × 0.999964410498352 × 6371000     		do = 2443.1915449358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00536893-0.00575243) × cos(-0.00882028) × R
    0.0003835 × 0.999961101582545 × 6371000     		du = 2443.18346033295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00843679)-sin(-0.00882028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999964410498352-0.999961101582545)×R²
    abs(0.00575243-0.00536893)×3.30891580746506e-06×R²
    0.0003835×3.30891580746506e-06×6371000²
    0.0003835×3.30891580746506e-06×40589641000000     		ar = 5969231.91433467m²