Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8208 / 8208
↖ ↑ ↗
← S  0.351560°
E  0.351562°		 ← 2 443.23 m → S  0.351560°
E  0.373535°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
S  0.373532°
E  0.351562°		 ← 2 443.23 m →
5 969 335 m²		 S  0.373532°
E  0.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501007080078125 y=0.501007080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501007080078125 × 214)
    floor (0.501007080078125 × 16384)
    floor (8208.5)     		tx = 8208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501007080078125 × 214)
    floor (0.501007080078125 × 16384)
    floor (8208.5)     		ty = 8208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8208 / 8208 ti = "14/8208/8208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8208/8208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8208 ÷ 214
    8208 ÷ 16384     		x = 0.5009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8208 ÷ 214
    8208 ÷ 16384     		y = 0.5009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00613592} λ = 0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(0.993882863181622)-π/2
    2×0.782330221072814-π/2
    1.56466044214563-1.57079632675     		φ = -0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8208 KachelY 8208 0.00613592 -0.00613588 0.351562 -0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 8209 KachelY 8208 0.00651942 -0.00613588 0.373535 -0.351560
    Unten links KachelX 8208 KachelY + 1 8209 0.00613592 -0.00651937 0.351562 -0.373532
    Unten rechts KachelX + 1 8209 KachelY + 1 8209 0.00651942 -0.00651937 0.373535 -0.373532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00613588--0.00651937) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00613588--0.00651937) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00613592-0.00651942) × cos(-0.00613588) × R
    0.0003835 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 2443.23250661962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00613592-0.00651942) × cos(-0.00651937) × R
    0.0003835 × 0.99997874898267 × 6371000     		du = 2443.22657784625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00613588)-sin(-0.00651937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.99997874898267)×R²
    abs(0.00651942-0.00613592)×2.426564703506e-06×R²
    0.0003835×2.426564703506e-06×6371000²
    0.0003835×2.426564703506e-06×40589641000000     		ar = 5969334.62610493m²