Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8216 / 8168
↖ ↑ ↗
← N  0.527336°
E  0.527343°		 ← 2 443.18 m → N  0.527336°
E  0.549316°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
N  0.505365°
E  0.527343°		 ← 2 443.18 m →
5 968 900 m²		 N  0.505365°
E  0.549316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501495361328125 y=0.498565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501495361328125 × 214)
    floor (0.501495361328125 × 16384)
    floor (8216.5)     		tx = 8216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498565673828125 × 214)
    floor (0.498565673828125 × 16384)
    floor (8168.5)     		ty = 8168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8216 / 8168 ti = "14/8216/8168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8216/8168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8216 ÷ 214
    8216 ÷ 16384     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8168 ÷ 214
    8168 ÷ 16384     		y = 0.49853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00920388472705078))-π/2
    2×atan(1.00924637071944)-π/2
    2×0.790000040789447-π/2
    1.58000008157889-1.57079632675     		φ = 0.00920375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00920375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.527336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8216 KachelY 8168 0.00920388 0.00920375 0.527343 0.527336
    Oben rechts KachelX + 1 8217 KachelY 8168 0.00958738 0.00920375 0.549316 0.527336
    Unten links KachelX 8216 KachelY + 1 8169 0.00920388 0.00882028 0.527343 0.505365
    Unten rechts KachelX + 1 8217 KachelY + 1 8169 0.00958738 0.00882028 0.549316 0.505365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00920375-0.00882028) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00920375-0.00882028) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00958738) × cos(0.00920375) × R
    0.0003835 × 0.999957645791952 × 6371000     		do = 2443.17501687409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00958738) × cos(0.00882028) × R
    0.0003835 × 0.999961101582545 × 6371000     		du = 2443.18346033295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00920375)-sin(0.00882028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999957645791952-0.999961101582545)×R²
    abs(0.00958738-0.00920388)×3.45579059268797e-06×R²
    0.0003835×3.45579059268797e-06×6371000²
    0.0003835×3.45579059268797e-06×40589641000000     		ar = 5968900.41362202m²