Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8236 / 8220
↖ ↑ ↗
← S  0.615223°
E  0.966797°		 ← 2 443.07 m → S  0.615223°
E  0.988769°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
S  0.637194°
E  0.966797°		 ← 2 443.06 m →
5 968 631 m²		 S  0.637194°
E  0.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502716064453125 y=0.501739501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502716064453125 × 214)
    floor (0.502716064453125 × 16384)
    floor (8236.5)     		tx = 8236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501739501953125 × 214)
    floor (0.501739501953125 × 16384)
    floor (8220.5)     		ty = 8220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8236 / 8220 ti = "14/8236/8220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8236/8220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8236 ÷ 214
    8236 ÷ 16384     		x = 0.502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8220 ÷ 214
    8220 ÷ 16384     		y = 0.501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01687379} λ = 0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0107378655148926))-π/2
    2×atan(0.989319579566641)-π/2
    2×0.78002933381159-π/2
    1.56005866762318-1.57079632675     		φ = -0.01073766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01073766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.615223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8236 KachelY 8220 0.01687379 -0.01073766 0.966797 -0.615223
    Oben rechts KachelX + 1 8237 KachelY 8220 0.01725728 -0.01073766 0.988769 -0.615223
    Unten links KachelX 8236 KachelY + 1 8221 0.01687379 -0.01112113 0.966797 -0.637194
    Unten rechts KachelX + 1 8237 KachelY + 1 8221 0.01725728 -0.01112113 0.988769 -0.637194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01073766--0.01112113) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01073766--0.01112113) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01687379-0.01725728) × cos(-0.01073766) × R
    0.00038349 × 0.999942351882755 × 6371000     		do = 2443.07394326733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01687379-0.01725728) × cos(-0.01112113) × R
    0.00038349 × 0.999938160871118 × 6371000     		du = 2443.06370372572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01073766)-sin(-0.01112113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999942351882755-0.999938160871118)×R²
    abs(0.01725728-0.01687379)×4.19101163651181e-06×R²
    0.00038349×4.19101163651181e-06×6371000²
    0.00038349×4.19101163651181e-06×40589641000000     		ar = 5968630.65986533m²