Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8259 / 8261
↖ ↑ ↗
← S  1.515936°
E  1.472168°		 ← 2 442.36 m → S  1.515936°
E  1.494140°		 →
↑
2 442.39 m
↓
↑
2 442.39 m
↓
S  1.537901°
E  1.472168°		 ← 2 442.33 m →
5 965 156 m²		 S  1.537901°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504119873046875 y=0.504241943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504119873046875 × 214)
    floor (0.504119873046875 × 16384)
    floor (8259.5)     		tx = 8259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504241943359375 × 214)
    floor (0.504241943359375 × 16384)
    floor (8261.5)     		ty = 8261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8259 / 8261 ti = "14/8259/8261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8259/8261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8259 ÷ 214
    8259 ÷ 16384     		x = 0.50408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8261 ÷ 214
    8261 ÷ 16384     		y = 0.50421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50408935546875 × 2 - 1) × π
    0.0081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02569418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.026461168590271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02569418} λ = 0.02569418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.026461168590271))-π/2
    2×atan(0.973885860462171)-π/2
    2×0.772169122826823-π/2
    1.54433824565365-1.57079632675     		φ = -0.02645808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02569418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02645808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.515936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8259 KachelY 8261 0.02569418 -0.02645808 1.472168 -1.515936
    Oben rechts KachelX + 1 8260 KachelY 8261 0.02607767 -0.02645808 1.494140 -1.515936
    Unten links KachelX 8259 KachelY + 1 8262 0.02569418 -0.02684144 1.472168 -1.537901
    Unten rechts KachelX + 1 8260 KachelY + 1 8262 0.02607767 -0.02684144 1.494140 -1.537901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02645808--0.02684144) × R
    0.000383360000000003 × 6371000     		dl = 2442.38656000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02645808--0.02684144) × R
    0.000383360000000003 × 6371000     		dr = 2442.38656000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02569418-0.02607767) × cos(-0.02645808) × R
    0.00038349 × 0.999650005419297 × 6371000     		do = 2442.35967806401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02569418-0.02607767) × cos(-0.02684144) × R
    0.00038349 × 0.999639790176627 × 6371000     		du = 2442.33472003203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02645808)-sin(-0.02684144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999650005419297-0.999639790176627)×R²
    abs(0.02607767-0.02569418)×1.02152426700863e-05×R²
    0.00038349×1.02152426700863e-05×6371000²
    0.00038349×1.02152426700863e-05×40589641000000     		ar = 5965156.04686431m²