Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8271 / 8273
↖ ↑ ↗
← S  1.779499°
E  1.735840°		 ← 2 442.10 m → S  1.779499°
E  1.757813°		 →
↑
2 442 m
↓
↑
2 442 m
↓
S  1.801461°
E  1.735840°		 ← 2 442.07 m →
5 963 584 m²		 S  1.801461°
E  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504852294921875 y=0.504974365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504852294921875 × 214)
    floor (0.504852294921875 × 16384)
    floor (8271.5)     		tx = 8271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504974365234375 × 214)
    floor (0.504974365234375 × 16384)
    floor (8273.5)     		ty = 8273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8271 / 8273 ti = "14/8271/8273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8271/8273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8271 ÷ 214
    8271 ÷ 16384     		x = 0.50482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8273 ÷ 214
    8273 ÷ 16384     		y = 0.50494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50482177734375 × 2 - 1) × π
    0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03029612} λ = 0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0310631109537964))-π/2
    2×atan(0.969414390478593)-π/2
    2×0.769869105094811-π/2
    1.53973821018962-1.57079632675     		φ = -0.03105812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03105812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.779499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8271 KachelY 8273 0.03029612 -0.03105812 1.735840 -1.779499
    Oben rechts KachelX + 1 8272 KachelY 8273 0.03067962 -0.03105812 1.757813 -1.779499
    Unten links KachelX 8271 KachelY + 1 8274 0.03029612 -0.03144142 1.735840 -1.801461
    Unten rechts KachelX + 1 8272 KachelY + 1 8274 0.03067962 -0.03144142 1.757813 -1.801461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03105812--0.03144142) × R
    0.000383299999999996 × 6371000     		dl = 2442.00429999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03105812--0.03144142) × R
    0.000383299999999996 × 6371000     		dr = 2442.00429999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03029612-0.03067962) × cos(-0.03105812) × R
    0.000383500000000002 × 0.999517735359216 × 6371000     		do = 2442.10019317187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03029612-0.03067962) × cos(-0.03144142) × R
    0.000383500000000002 × 0.999505759271875 × 6371000     		du = 2442.07093225516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03105812)-sin(-0.03144142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999517735359216-0.999505759271875)×R²
    abs(0.03067962-0.03029612)×1.197608734127e-05×R²
    0.000383500000000002×1.197608734127e-05×6371000²
    0.000383500000000002×1.197608734127e-05×40589641000000     		ar = 5963583.51812781m²