Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8288 / 8288
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
E  2.109375°		 ← 2 441.56 m → S  2.108899°
E  2.131347°		 →
↑
2 441.56 m
↓
↑
2 441.56 m
↓
S  2.130856°
E  2.109375°		 ← 2 441.53 m →
5 961 169 m²		 S  2.130856°
E  2.131347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505889892578125 y=0.505889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505889892578125 × 214)
    floor (0.505889892578125 × 16384)
    floor (8288.5)     		tx = 8288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505889892578125 × 214)
    floor (0.505889892578125 × 16384)
    floor (8288.5)     		ty = 8288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8288 / 8288 ti = "14/8288/8288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8288/8288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8288 ÷ 214
    8288 ÷ 16384     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8288 ÷ 214
    8288 ÷ 16384     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8288 KachelY 8288 0.03681554 -0.03680723 2.109375 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 8289 KachelY 8288 0.03719903 -0.03680723 2.131347 -2.108899
    Unten links KachelX 8288 KachelY + 1 8289 0.03681554 -0.03719046 2.109375 -2.130856
    Unten rechts KachelX + 1 8289 KachelY + 1 8289 0.03719903 -0.03719046 2.131347 -2.130856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.03719046) × R
    0.000383229999999998 × 6371000     		dl = 2441.55832999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.03719046) × R
    0.000383229999999998 × 6371000     		dr = 2441.55832999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.03719903) × cos(-0.03680723) × R
    0.00038349 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 2441.55997712323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.03719903) × cos(-0.03719046) × R
    0.00038349 × 0.999308514549214 × 6371000     		du = 2441.52534251957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.03719046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999308514549214)×R²
    abs(0.03719903-0.03681554)×1.41758325155061e-05×R²
    0.00038349×1.41758325155061e-05×6371000²
    0.00038349×1.41758325155061e-05×40589641000000     		ar = 5961168.89209471m²