Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8290 / 8290
↖ ↑ ↗
← S  2.152814°
E  2.153320°		 ← 2 441.49 m → S  2.152814°
E  2.175293°		 →
↑
2 441.49 m
↓
↑
2 441.49 m
↓
S  2.174771°
E  2.153320°		 ← 2 441.45 m →
5 960 842 m²		 S  2.174771°
E  2.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506011962890625 y=0.506011962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506011962890625 × 214)
    floor (0.506011962890625 × 16384)
    floor (8290.5)     		tx = 8290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506011962890625 × 214)
    floor (0.506011962890625 × 16384)
    floor (8290.5)     		ty = 8290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8290 / 8290 ti = "14/8290/8290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8290/8290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8290 ÷ 214
    8290 ÷ 16384     		x = 0.5059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8290 ÷ 214
    8290 ÷ 16384     		y = 0.5059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03758253} λ = 0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.037582529302124))-π/2
    2×atan(0.963114929237827)-π/2
    2×0.766611320794358-π/2
    1.53322264158872-1.57079632675     		φ = -0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8290 KachelY 8290 0.03758253 -0.03757369 2.153320 -2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 8291 KachelY 8290 0.03796602 -0.03757369 2.175293 -2.152814
    Unten links KachelX 8290 KachelY + 1 8291 0.03758253 -0.03795691 2.153320 -2.174771
    Unten rechts KachelX + 1 8291 KachelY + 1 8291 0.03796602 -0.03795691 2.175293 -2.174771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03757369--0.03795691) × R
    0.000383220000000004 × 6371000     		dl = 2441.49462000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03757369--0.03795691) × R
    0.000383220000000004 × 6371000     		dr = 2441.49462000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03758253-0.03796602) × cos(-0.03757369) × R
    0.00038349 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 2441.49034934072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03758253-0.03796602) × cos(-0.03795691) × R
    0.00038349 × 0.999279722974737 × 6371000     		du = 2441.45499851898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03757369)-sin(-0.03795691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999279722974737)×R²
    abs(0.03796602-0.03758253)×1.44689782858309e-05×R²
    0.00038349×1.44689782858309e-05×6371000²
    0.00038349×1.44689782858309e-05×40589641000000     		ar = 5960842.47122636m²