Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8292 / 8164
↖ ↑ ↗
← N  0.615223°
E  2.197266°		 ← 2 443.07 m → N  0.615223°
E  2.219238°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
N  0.593251°
E  2.197266°		 ← 2 443.08 m →
5 968 655 m²		 N  0.593251°
E  2.219238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506134033203125 y=0.498321533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506134033203125 × 214)
    floor (0.506134033203125 × 16384)
    floor (8292.5)     		tx = 8292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498321533203125 × 214)
    floor (0.498321533203125 × 16384)
    floor (8164.5)     		ty = 8164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8292 / 8164 ti = "14/8292/8164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8292/8164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8292 ÷ 214
    8292 ÷ 16384     		x = 0.506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8164 ÷ 214
    8164 ÷ 16384     		y = 0.498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506103515625 × 2 - 1) × π
    0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03834952} λ = 0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0107378655148926))-π/2
    2×atan(1.01079572329705)-π/2
    2×0.790766992983306-π/2
    1.58153398596661-1.57079632675     		φ = 0.01073766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01073766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.615223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8292 KachelY 8164 0.03834952 0.01073766 2.197266 0.615223
    Oben rechts KachelX + 1 8293 KachelY 8164 0.03873301 0.01073766 2.219238 0.615223
    Unten links KachelX 8292 KachelY + 1 8165 0.03834952 0.01035419 2.197266 0.593251
    Unten rechts KachelX + 1 8293 KachelY + 1 8165 0.03873301 0.01035419 2.219238 0.593251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01073766-0.01035419) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01073766-0.01035419) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03834952-0.03873301) × cos(0.01073766) × R
    0.00038349 × 0.999942351882755 × 6371000     		do = 2443.07394326733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03834952-0.03873301) × cos(0.01035419) × R
    0.00038349 × 0.99994639585363 × 6371000     		du = 2443.08382355678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01073766)-sin(0.01035419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999942351882755-0.99994639585363)×R²
    abs(0.03873301-0.03834952)×4.04397087461206e-06×R²
    0.00038349×4.04397087461206e-06×6371000²
    0.00038349×4.04397087461206e-06×40589641000000     		ar = 5968655.23711822m²