Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8304 / 8368
↖ ↑ ↗
← S  3.864255°
E  2.460937°		 ← 2 437.72 m → S  3.864255°
E  2.482910°		 →
↑
2 437.61 m
↓
↑
2 437.61 m
↓
S  3.886177°
E  2.460937°		 ← 2 437.66 m →
5 942 139 m²		 S  3.886177°
E  2.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506866455078125 y=0.510772705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506866455078125 × 214)
    floor (0.506866455078125 × 16384)
    floor (8304.5)     		tx = 8304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510772705078125 × 214)
    floor (0.510772705078125 × 16384)
    floor (8368.5)     		ty = 8368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8304 / 8368 ti = "14/8304/8368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8304/8368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8304 ÷ 214
    8304 ÷ 16384     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8368 ÷ 214
    8368 ÷ 16384     		y = 0.5107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    -0.021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0674951546650391))-π/2
    2×atan(0.934732249695904)-π/2
    2×0.751676180308547-π/2
    1.50335236061709-1.57079632675     		φ = -0.06744397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06744397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.864255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8304 KachelY 8368 0.04295146 -0.06744397 2.460937 -3.864255
    Oben rechts KachelX + 1 8305 KachelY 8368 0.04333496 -0.06744397 2.482910 -3.864255
    Unten links KachelX 8304 KachelY + 1 8369 0.04295146 -0.06782658 2.460937 -3.886177
    Unten rechts KachelX + 1 8305 KachelY + 1 8369 0.04333496 -0.06782658 2.482910 -3.886177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06744397--0.06782658) × R
    0.000382609999999992 × 6371000     		dl = 2437.60830999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06744397--0.06782658) × R
    0.000382609999999992 × 6371000     		dr = 2437.60830999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04333496) × cos(-0.06744397) × R
    0.000383500000000002 × 0.9977265174318 × 6371000     		do = 2437.723748921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04333496) × cos(-0.06782658) × R
    0.000383500000000002 × 0.997700659224776 × 6371000     		du = 2437.66057011973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06744397)-sin(-0.06782658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9977265174318-0.997700659224776)×R²
    abs(0.04333496-0.04295146)×2.58582070239433e-05×R²
    0.000383500000000002×2.58582070239433e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.58582070239433e-05×40589641000000     		ar = 5942138.7377579m²