Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 8323
↖ ↑ ↗
← S  2.877208°
E  2.900391°		 ← 2 440.13 m → S  2.877208°
E  2.922363°		 →
↑
2 440.16 m
↓
↑
2 440.16 m
↓
S  2.899153°
E  2.900391°		 ← 2 440.09 m →
5 954 254 m²		 S  2.899153°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.508026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508026123046875 × 214)
    floor (0.508026123046875 × 16384)
    floor (8323.5)     		ty = 8323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 8323 ti = "14/8324/8323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/8323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8323 ÷ 214
    8323 ÷ 16384     		y = 0.50799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0502378708018189))-π/2
    2×atan(0.951003181704139)-π/2
    2×0.760289787378982-π/2
    1.52057957475796-1.57079632675     		φ = -0.05021675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05021675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.877208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 8323 0.05062137 -0.05021675 2.900391 -2.877208
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 8323 0.05100486 -0.05021675 2.922363 -2.877208
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 8324 0.05062137 -0.05059976 2.900391 -2.899153
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 8324 0.05100486 -0.05059976 2.922363 -2.899153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05021675--0.05059976) × R
    0.000383010000000003 × 6371000     		dl = 2440.15671000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05021675--0.05059976) × R
    0.000383010000000003 × 6371000     		dr = 2440.15671000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(-0.05021675) × R
    0.00038349 × 0.998739403949187 × 6371000     		do = 2440.13488308444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(-0.05059976) × R
    0.00038349 × 0.998720105258951 × 6371000     		du = 2440.08773223903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05021675)-sin(-0.05059976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998739403949187-0.998720105258951)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×1.92986902358694e-05×R²
    0.00038349×1.92986902358694e-05×6371000²
    0.00038349×1.92986902358694e-05×40589641000000     		ar = 5954254.05332684m²