Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 8332
↖ ↑ ↗
← S  3.074695°
E  2.900391°		 ← 2 439.70 m → S  3.074695°
E  2.922363°		 →
↑
2 439.71 m
↓
↑
2 439.71 m
↓
S  3.096636°
E  2.900391°		 ← 2 439.65 m →
5 952 095 m²		 S  3.096636°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.508575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508575439453125 × 214)
    floor (0.508575439453125 × 16384)
    floor (8332.5)     		ty = 8332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 8332 ti = "14/8324/8332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/8332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8332 ÷ 214
    8332 ÷ 16384     		y = 0.508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.01708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0536893275744629))-π/2
    2×atan(0.947726493258913)-π/2
    2×0.758566387144366-π/2
    1.51713277428873-1.57079632675     		φ = -0.05366355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05366355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.074695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 8332 0.05062137 -0.05366355 2.900391 -3.074695
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 8332 0.05100486 -0.05366355 2.922363 -3.074695
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 8333 0.05062137 -0.05404649 2.900391 -3.096636
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 8333 0.05100486 -0.05404649 2.922363 -3.096636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05366355--0.05404649) × R
    0.000382940000000005 × 6371000     		dl = 2439.71074000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05366355--0.05404649) × R
    0.000382940000000005 × 6371000     		dr = 2439.71074000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(-0.05366355) × R
    0.00038349 × 0.998560457213916 × 6371000     		do = 2439.6976777742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(-0.05404649) × R
    0.00038349 × 0.998539843940386 × 6371000     		du = 2439.64731511944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05366355)-sin(-0.05404649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998560457213916-0.998539843940386)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×2.06132735300901e-05×R²
    0.00038349×2.06132735300901e-05×6371000²
    0.00038349×2.06132735300901e-05×40589641000000     		ar = 5952095.26440017m²