Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8335 / 8335
↖ ↑ ↗
← S  3.140516°
E  3.142090°		 ← 2 439.61 m → S  3.140516°
E  3.164063°		 →
↑
2 439.52 m
↓
↑
2 439.52 m
↓
S  3.162455°
E  3.142090°		 ← 2 439.56 m →
5 951 412 m²		 S  3.162455°
E  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508758544921875 y=0.508758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508758544921875 × 214)
    floor (0.508758544921875 × 16384)
    floor (8335.5)     		tx = 8335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508758544921875 × 214)
    floor (0.508758544921875 × 16384)
    floor (8335.5)     		ty = 8335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8335 / 8335 ti = "14/8335/8335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8335/8335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8335 ÷ 214
    8335 ÷ 16384     		x = 0.50872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8335 ÷ 214
    8335 ÷ 16384     		y = 0.50872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50872802734375 × 2 - 1) × π
    0.0174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05483981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.0174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05483981} λ = 0.05483981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0548398131653442))-π/2
    2×atan(0.946636774557352)-π/2
    2×0.757991990285025-π/2
    1.51598398057005-1.57079632675     		φ = -0.05481235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05483981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.142090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05481235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.140516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8335 KachelY 8335 0.05483981 -0.05481235 3.142090 -3.140516
    Oben rechts KachelX + 1 8336 KachelY 8335 0.05522331 -0.05481235 3.164063 -3.140516
    Unten links KachelX 8335 KachelY + 1 8336 0.05483981 -0.05519526 3.142090 -3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 8336 KachelY + 1 8336 0.05522331 -0.05519526 3.164063 -3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05481235--0.05519526) × R
    0.00038291 × 6371000     		dl = 2439.51961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05481235--0.05519526) × R
    0.00038291 × 6371000     		dr = 2439.51961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05483981-0.05522331) × cos(-0.05481235) × R
    0.000383499999999995 × 0.998498179205308 × 6371000     		do = 2439.60913354144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05483981-0.05522331) × cos(-0.05519526) × R
    0.000383499999999995 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 2439.55770035824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05481235)-sin(-0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998498179205308-0.998477128316837)×R²
    abs(0.05522331-0.05483981)×2.10508884712635e-05×R²
    0.000383499999999995×2.10508884712635e-05×6371000²
    0.000383499999999995×2.10508884712635e-05×40589641000000     		ar = 5951411.65859631m²