Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8336 / 8336
↖ ↑ ↗
← S  3.162455°
E  3.164063°		 ← 2 439.49 m → S  3.162455°
E  3.186035°		 →
↑
2 439.52 m
↓
↑
2 439.52 m
↓
S  3.184395°
E  3.164063°		 ← 2 439.44 m →
5 951 131 m²		 S  3.184395°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508819580078125 y=0.508819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508819580078125 × 214)
    floor (0.508819580078125 × 16384)
    floor (8336.5)     		tx = 8336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508819580078125 × 214)
    floor (0.508819580078125 × 16384)
    floor (8336.5)     		ty = 8336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8336 / 8336 ti = "14/8336/8336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8336/8336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8336 ÷ 214
    8336 ÷ 16384     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8336 ÷ 214
    8336 ÷ 16384     		y = 0.5087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(0.946273813502402)-π/2
    2×0.757800532672959-π/2
    1.51560106534592-1.57079632675     		φ = -0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8336 KachelY 8336 0.05522331 -0.05519526 3.164063 -3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 8337 KachelY 8336 0.05560680 -0.05519526 3.186035 -3.162455
    Unten links KachelX 8336 KachelY + 1 8337 0.05522331 -0.05557817 3.164063 -3.184395
    Unten rechts KachelX + 1 8337 KachelY + 1 8337 0.05560680 -0.05557817 3.186035 -3.184395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05519526--0.05557817) × R
    0.00038291 × 6371000     		dl = 2439.51961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05519526--0.05557817) × R
    0.00038291 × 6371000     		dr = 2439.51961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05560680) × cos(-0.05519526) × R
    0.00038349 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 2439.49408738043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05560680) × cos(-0.05557817) × R
    0.00038349 × 0.998455931031583 × 6371000     		du = 2439.44229785958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05519526)-sin(-0.05557817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998455931031583)×R²
    abs(0.05560680-0.05522331)×2.11972852540709e-05×R²
    0.00038349×2.11972852540709e-05×6371000²
    0.00038349×2.11972852540709e-05×40589641000000     		ar = 5951130.56658067m²