Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8338 / 8338
↖ ↑ ↗
← S  3.206333°
E  3.208008°		 ← 2 439.39 m → S  3.206333°
E  3.229980°		 →
↑
2 439.39 m
↓
↑
2 439.39 m
↓
S  3.228271°
E  3.208008°		 ← 2 439.34 m →
5 950 565 m²		 S  3.228271°
E  3.229980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508941650390625 y=0.508941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508941650390625 × 214)
    floor (0.508941650390625 × 16384)
    floor (8338.5)     		tx = 8338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508941650390625 × 214)
    floor (0.508941650390625 × 16384)
    floor (8338.5)     		ty = 8338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8338 / 8338 ti = "14/8338/8338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8338/8338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8338 ÷ 214
    8338 ÷ 16384     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8338 ÷ 214
    8338 ÷ 16384     		y = 0.5089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(0.945548308840546)-π/2
    2×0.757417629628329-π/2
    1.51483525925666-1.57079632675     		φ = -0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8338 KachelY 8338 0.05599030 -0.05596107 3.208008 -3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 8339 KachelY 8338 0.05637379 -0.05596107 3.229980 -3.206333
    Unten links KachelX 8338 KachelY + 1 8339 0.05599030 -0.05634396 3.208008 -3.228271
    Unten rechts KachelX + 1 8339 KachelY + 1 8339 0.05637379 -0.05634396 3.229980 -3.228271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05596107--0.05634396) × R
    0.000382889999999997 × 6371000     		dl = 2439.39218999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05596107--0.05634396) × R
    0.000382889999999997 × 6371000     		dr = 2439.39218999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05637379) × cos(-0.05596107) × R
    0.00038349 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 2439.39015203409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05637379) × cos(-0.05634396) × R
    0.00038349 × 0.998413098972605 × 6371000     		du = 2439.3376499396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05596107)-sin(-0.05634396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998413098972605)×R²
    abs(0.05637379-0.05599030)×2.14889393679307e-05×R²
    0.00038349×2.14889393679307e-05×6371000²
    0.00038349×2.14889393679307e-05×40589641000000     		ar = 5950565.3213336m²