Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8351 / 8353
↖ ↑ ↗
← S  3.535352°
E  3.493653°		 ← 2 438.57 m → S  3.535352°
E  3.515625°		 →
↑
2 438.56 m
↓
↑
2 438.56 m
↓
S  3.557283°
E  3.493653°		 ← 2 438.51 m →
5 946 527 m²		 S  3.557283°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509735107421875 y=0.509857177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509735107421875 × 214)
    floor (0.509735107421875 × 16384)
    floor (8351.5)     		tx = 8351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509857177734375 × 214)
    floor (0.509857177734375 × 16384)
    floor (8353.5)     		ty = 8353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8351 / 8353 ti = "14/8351/8353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8351/8353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8351 ÷ 214
    8351 ÷ 16384     		x = 0.50970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8353 ÷ 214
    8353 ÷ 16384     		y = 0.50982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50970458984375 × 2 - 1) × π
    0.0194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06097574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.0196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0617427267106323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06097574} λ = 0.06097574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0617427267106323))-π/2
    2×atan(0.940124724660872)-π/2
    2×0.754546395820984-π/2
    1.50909279164197-1.57079632675     		φ = -0.06170354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06097574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.493653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06170354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.535352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8351 KachelY 8353 0.06097574 -0.06170354 3.493653 -3.535352
    Oben rechts KachelX + 1 8352 KachelY 8353 0.06135923 -0.06170354 3.515625 -3.535352
    Unten links KachelX 8351 KachelY + 1 8354 0.06097574 -0.06208630 3.493653 -3.557283
    Unten rechts KachelX + 1 8352 KachelY + 1 8354 0.06135923 -0.06208630 3.515625 -3.557283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06170354--0.06208630) × R
    0.000382759999999996 × 6371000     		dl = 2438.56395999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06170354--0.06208630) × R
    0.000382759999999996 × 6371000     		dr = 2438.56395999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06097574-0.06135923) × cos(-0.06170354) × R
    0.00038349 × 0.998096940488159 × 6371000     		do = 2438.56520685442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06097574-0.06135923) × cos(-0.06208630) × R
    0.00038349 × 0.998073264712392 × 6371000     		du = 2438.5073618489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06170354)-sin(-0.06208630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998096940488159-0.998073264712392)×R²
    abs(0.06135923-0.06097574)×2.3675775767007e-05×R²
    0.00038349×2.3675775767007e-05×6371000²
    0.00038349×2.3675775767007e-05×40589641000000     		ar = 5946526.77077198m²