Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8384 / 8640
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E  4.218750°		 ← 2 407.59 m → S  9.795678°
E  4.240722°		 →
↑
2 407.54 m
↓
↑
2 407.54 m
↓
S  9.817329°
E  4.218750°		 ← 2 407.44 m →
5 796 184 m²		 S  9.817329°
E  4.240722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511749267578125 y=0.527374267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511749267578125 × 214)
    floor (0.511749267578125 × 16384)
    floor (8384.5)     		tx = 8384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527374267578125 × 214)
    floor (0.527374267578125 × 16384)
    floor (8640.5)     		ty = 8640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8384 / 8640 ti = "14/8384/8640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8384/8640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8384 ÷ 214
    8384 ÷ 16384     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8640 ÷ 214
    8640 ÷ 16384     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8384 KachelY 8640 0.07363108 -0.17096683 4.218750 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 8385 KachelY 8640 0.07401457 -0.17096683 4.240722 -9.795678
    Unten links KachelX 8384 KachelY + 1 8641 0.07363108 -0.17134472 4.218750 -9.817329
    Unten rechts KachelX + 1 8385 KachelY + 1 8641 0.07401457 -0.17134472 4.240722 -9.817329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17134472) × R
    0.00037789000000002 × 6371000     		dl = 2407.53719000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17134472) × R
    0.00037789000000002 × 6371000     		dr = 2407.53719000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07401457) × cos(-0.17096683) × R
    0.00038349 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 2407.59451588819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07401457) × cos(-0.17134472) × R
    0.00038349 × 0.985356372987213 × 6371000     		du = 2407.43726390312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17134472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985356372987213)×R²
    abs(0.07401457-0.07363108)×6.43627345870978e-05×R²
    0.00038349×6.43627345870978e-05×6371000²
    0.00038349×6.43627345870978e-05×40589641000000     		ar = 5796184.10941498m²