Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84000 / 84000
↖ ↑ ↗
← S 45.151053°
E 50.712890°		 ← 215.40 m → S 45.151053°
E 50.715637°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.152990°
E 50.712890°		 ← 215.39 m →
46 397 m²		 S 45.152990°
E 50.715637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640872955322266 y=0.640872955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640872955322266 × 217)
    floor (0.640872955322266 × 131072)
    floor (84000.5)     		tx = 84000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640872955322266 × 217)
    floor (0.640872955322266 × 131072)
    floor (84000.5)     		ty = 84000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84000 / 84000 ti = "17/84000/84000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84000/84000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84000 ÷ 217
    84000 ÷ 131072     		x = 0.640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84000 ÷ 217
    84000 ÷ 131072     		y = 0.640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    0.28173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88510691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.885106914584717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88510691} λ = 0.88510691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885106914584717))-π/2
    2×atan(0.412670050473335)-π/2
    2×0.39138089329266-π/2
    0.782761786585319-1.57079632675     		φ = -0.78803454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88510691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.712890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78803454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.151053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84000 KachelY 84000 0.88510691 -0.78803454 50.712890 -45.151053
    Oben rechts KachelX + 1 84001 KachelY 84000 0.88515485 -0.78803454 50.715637 -45.151053
    Unten links KachelX 84000 KachelY + 1 84001 0.88510691 -0.78806835 50.712890 -45.152990
    Unten rechts KachelX + 1 84001 KachelY + 1 84001 0.88515485 -0.78806835 50.715637 -45.152990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78803454--0.78806835) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78803454--0.78806835) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88510691-0.88515485) × cos(-0.78803454) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705240126207726 × 6371000     		do = 215.398487425046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88510691-0.88515485) × cos(-0.78806835) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705216155578935 × 6371000     		du = 215.391166178009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78803454)-sin(-0.78806835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705240126207726-0.705216155578935)×R²
    abs(0.88515485-0.88510691)×2.39706287907815e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39706287907815e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39706287907815e-05×40589641000000     		ar = 46396.8017333314m²