Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8446 / 8446
↖ ↑ ↗
← S  5.572250°
E  5.581055°		 ← 2 431.73 m → S  5.572250°
E  5.603028°		 →
↑
2 431.62 m
↓
↑
2 431.62 m
↓
S  5.594118°
E  5.581055°		 ← 2 431.64 m →
5 912 939 m²		 S  5.594118°
E  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515533447265625 y=0.515533447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515533447265625 × 214)
    floor (0.515533447265625 × 16384)
    floor (8446.5)     		tx = 8446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515533447265625 × 214)
    floor (0.515533447265625 × 16384)
    floor (8446.5)     		ty = 8446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8446 / 8446 ti = "14/8446/8446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8446/8446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8446 ÷ 214
    8446 ÷ 16384     		x = 0.5155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8446 ÷ 214
    8446 ÷ 16384     		y = 0.5155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5155029296875 × 2 - 1) × π
    0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09740778} λ = 0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0974077800279541))-π/2
    2×atan(0.907185998365738)-π/2
    2×0.736771110512315-π/2
    1.47354222102463-1.57079632675     		φ = -0.09725411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09725411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.572250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8446 KachelY 8446 0.09740778 -0.09725411 5.581055 -5.572250
    Oben rechts KachelX + 1 8447 KachelY 8446 0.09779128 -0.09725411 5.603028 -5.572250
    Unten links KachelX 8446 KachelY + 1 8447 0.09740778 -0.09763578 5.581055 -5.594118
    Unten rechts KachelX + 1 8447 KachelY + 1 8447 0.09779128 -0.09763578 5.603028 -5.594118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09725411--0.09763578) × R
    0.000381670000000001 × 6371000     		dl = 2431.61957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09725411--0.09763578) × R
    0.000381670000000001 × 6371000     		dr = 2431.61957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09740778-0.09779128) × cos(-0.09725411) × R
    0.000383499999999995 × 0.995274545394462 × 6371000     		do = 2431.73289835953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09740778-0.09779128) × cos(-0.09763578) × R
    0.000383499999999995 × 0.99523741241384 × 6371000     		du = 2431.64217214634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09725411)-sin(-0.09763578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995274545394462-0.99523741241384)×R²
    abs(0.09779128-0.09740778)×3.71329806220233e-05×R²
    0.000383499999999995×3.71329806220233e-05×6371000²
    0.000383499999999995×3.71329806220233e-05×40589641000000     		ar = 5912939.07062516m²