Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8449 / 8447
↖ ↑ ↗
← S  5.594118°
E  5.646973°		 ← 2 431.58 m → S  5.594118°
E  5.668945°		 →
↑
2 431.56 m
↓
↑
2 431.56 m
↓
S  5.615986°
E  5.646973°		 ← 2 431.49 m →
5 912 409 m²		 S  5.615986°
E  5.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515716552734375 y=0.515594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515716552734375 × 214)
    floor (0.515716552734375 × 16384)
    floor (8449.5)     		tx = 8449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515594482421875 × 214)
    floor (0.515594482421875 × 16384)
    floor (8447.5)     		ty = 8447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8449 / 8447 ti = "14/8449/8447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8449/8447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8449 ÷ 214
    8449 ÷ 16384     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8447 ÷ 214
    8447 ÷ 16384     		y = 0.51556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0977912752249146))-π/2
    2×atan(0.90683816359336)-π/2
    2×0.736580272566169-π/2
    1.47316054513234-1.57079632675     		φ = -0.09763578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09763578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.594118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8449 KachelY 8447 0.09855827 -0.09763578 5.646973 -5.594118
    Oben rechts KachelX + 1 8450 KachelY 8447 0.09894176 -0.09763578 5.668945 -5.594118
    Unten links KachelX 8449 KachelY + 1 8448 0.09855827 -0.09801744 5.646973 -5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 8450 KachelY + 1 8448 0.09894176 -0.09801744 5.668945 -5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09763578--0.09801744) × R
    0.000381659999999992 × 6371000     		dl = 2431.55585999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09763578--0.09801744) × R
    0.000381659999999992 × 6371000     		dr = 2431.55585999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(-0.09763578) × R
    0.00038349 × 0.99523741241384 × 6371000     		do = 2431.57876557082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(-0.09801744) × R
    0.00038349 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 2431.48768990141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09763578)-sin(-0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99523741241384-0.995200135433612)×R²
    abs(0.09894176-0.09855827)×3.72769802279294e-05×R²
    0.00038349×3.72769802279294e-05×6371000²
    0.00038349×3.72769802279294e-05×40589641000000     		ar = 5912408.94045522m²