Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8464 / 8464
↖ ↑ ↗
← S  5.965753°
E  5.976562°		 ← 2 430.05 m → S  5.965753°
E  5.998535°		 →
↑
2 429.96 m
↓
↑
2 429.96 m
↓
S  5.987607°
E  5.976562°		 ← 2 429.95 m →
5 904 805 m²		 S  5.987607°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516632080078125 y=0.516632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516632080078125 × 214)
    floor (0.516632080078125 × 16384)
    floor (8464.5)     		tx = 8464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516632080078125 × 214)
    floor (0.516632080078125 × 16384)
    floor (8464.5)     		ty = 8464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8464 / 8464 ti = "14/8464/8464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8464/8464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8464 ÷ 214
    8464 ÷ 16384     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8464 ÷ 214
    8464 ÷ 16384     		y = 0.5166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104310693573242))-π/2
    2×atan(0.900945336006611)-π/2
    2×0.733337141437415-π/2
    1.46667428287483-1.57079632675     		φ = -0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8464 KachelY 8464 0.10431069 -0.10412204 5.976562 -5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 8465 KachelY 8464 0.10469419 -0.10412204 5.998535 -5.965753
    Unten links KachelX 8464 KachelY + 1 8465 0.10431069 -0.10450345 5.976562 -5.987607
    Unten rechts KachelX + 1 8465 KachelY + 1 8465 0.10469419 -0.10450345 5.998535 -5.987607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10412204--0.10450345) × R
    0.000381409999999999 × 6371000     		dl = 2429.96310999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10412204--0.10450345) × R
    0.000381409999999999 × 6371000     		dr = 2429.96310999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10469419) × cos(-0.10412204) × R
    0.000383500000000009 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 2430.04618241515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10469419) × cos(-0.10450345) × R
    0.000383500000000009 × 0.994544482144054 × 6371000     		du = 2429.94915051626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10412204)-sin(-0.10450345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.994544482144054)×R²
    abs(0.10469419-0.10431069)×3.97138103149786e-05×R²
    0.000383500000000009×3.97138103149786e-05×6371000²
    0.000383500000000009×3.97138103149786e-05×40589641000000     		ar = 5904804.75848058m²