Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8464 / 8976
↖ ↑ ↗
← S 16.972741°
E  5.976562°		 ← 2 336.86 m → S 16.972741°
E  5.998535°		 →
↑
2 336.69 m
↓
↑
2 336.69 m
↓
S 16.993755°
E  5.976562°		 ← 2 336.60 m →
5 460 212 m²		 S 16.993755°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516632080078125 y=0.547882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516632080078125 × 214)
    floor (0.516632080078125 × 16384)
    floor (8464.5)     		tx = 8464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547882080078125 × 214)
    floor (0.547882080078125 × 16384)
    floor (8976.5)     		ty = 8976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8464 / 8976 ti = "14/8464/8976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8464/8976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8464 ÷ 214
    8464 ÷ 16384     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8976 ÷ 214
    8976 ÷ 16384     		y = 0.5478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300660234416992))-π/2
    2×atan(0.740329268425005)-π/2
    2×0.637283056457916-π/2
    1.27456611291583-1.57079632675     		φ = -0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8464 KachelY 8976 0.10431069 -0.29623021 5.976562 -16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 8465 KachelY 8976 0.10469419 -0.29623021 5.998535 -16.972741
    Unten links KachelX 8464 KachelY + 1 8977 0.10431069 -0.29659698 5.976562 -16.993755
    Unten rechts KachelX + 1 8465 KachelY + 1 8977 0.10469419 -0.29659698 5.998535 -16.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29623021--0.29659698) × R
    0.000366770000000016 × 6371000     		dl = 2336.6916700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29623021--0.29659698) × R
    0.000366770000000016 × 6371000     		dr = 2336.6916700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10469419) × cos(-0.29623021) × R
    0.000383500000000009 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 2336.85844428683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10469419) × cos(-0.29659698) × R
    0.000383500000000009 × 0.956336616704942 × 6371000     		du = 2336.59669435798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29623021)-sin(-0.29659698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.956336616704942)×R²
    abs(0.10469419-0.10431069)×0.0001071306152165×R²
    0.000383500000000009×0.0001071306152165×6371000²
    0.000383500000000009×0.0001071306152165×40589641000000     		ar = 5460211.90750378m²