Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8480 / 8480
↖ ↑ ↗
← S  6.315298°
E  6.328125°		 ← 2 428.39 m → S  6.315298°
E  6.350098°		 →
↑
2 428.37 m
↓
↑
2 428.37 m
↓
S  6.337137°
E  6.328125°		 ← 2 428.29 m →
5 896 902 m²		 S  6.337137°
E  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517608642578125 y=0.517608642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517608642578125 × 214)
    floor (0.517608642578125 × 16384)
    floor (8480.5)     		tx = 8480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517608642578125 × 214)
    floor (0.517608642578125 × 16384)
    floor (8480.5)     		ty = 8480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8480 / 8480 ti = "14/8480/8480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8480/8480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8480 ÷ 214
    8480 ÷ 16384     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8480 ÷ 214
    8480 ÷ 16384     		y = 0.517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110446616724609))-π/2
    2×atan(0.895434130120379)-π/2
    2×0.730286787028895-π/2
    1.46057357405779-1.57079632675     		φ = -0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8480 KachelY 8480 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 8481 KachelY 8480 0.11083011 -0.11022275 6.350098 -6.315298
    Unten links KachelX 8480 KachelY + 1 8481 0.11044662 -0.11060391 6.328125 -6.337137
    Unten rechts KachelX + 1 8481 KachelY + 1 8481 0.11083011 -0.11060391 6.350098 -6.337137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11022275--0.11060391) × R
    0.000381160000000005 × 6371000     		dl = 2428.37036000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11022275--0.11060391) × R
    0.000381160000000005 × 6371000     		dr = 2428.37036000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11083011) × cos(-0.11022275) × R
    0.00038349 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 2428.38843467622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11083011) × cos(-0.11060391) × R
    0.00038349 × 0.993889620495557 × 6371000     		du = 2428.28582042223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11022275)-sin(-0.11060391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.993889620495557)×R²
    abs(0.11083011-0.11044662)×4.19996859911675e-05×R²
    0.00038349×4.19996859911675e-05×6371000²
    0.00038349×4.19996859911675e-05×40589641000000     		ar = 5896901.97602149m²