Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8584 / 8072
↖ ↑ ↗
← N  2.635789°
E  8.613281°		 ← 2 440.63 m → N  2.635789°
E  8.635254°		 →
↑
2 440.67 m
↓
↑
2 440.67 m
↓
N  2.613839°
E  8.613281°		 ← 2 440.67 m →
5 956 816 m²		 N  2.613839°
E  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523956298828125 y=0.492706298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523956298828125 × 214)
    floor (0.523956298828125 × 16384)
    floor (8584.5)     		tx = 8584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492706298828125 × 214)
    floor (0.492706298828125 × 16384)
    floor (8072.5)     		ty = 8072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8584 / 8072 ti = "14/8584/8072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8584/8072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8584 ÷ 214
    8584 ÷ 16384     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8072 ÷ 214
    8072 ÷ 16384     		y = 0.49267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0460194236352539))-π/2
    2×atan(1.0470947491459)-π/2
    2×0.808399757899618-π/2
    1.61679951579924-1.57079632675     		φ = 0.04600319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04600319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.635789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8584 KachelY 8072 0.15033012 0.04600319 8.613281 2.635789
    Oben rechts KachelX + 1 8585 KachelY 8072 0.15071361 0.04600319 8.635254 2.635789
    Unten links KachelX 8584 KachelY + 1 8073 0.15033012 0.04562010 8.613281 2.613839
    Unten rechts KachelX + 1 8585 KachelY + 1 8073 0.15071361 0.04562010 8.635254 2.613839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04600319-0.04562010) × R
    0.000383090000000003 × 6371000     		dl = 2440.66639000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04600319-0.04562010) × R
    0.000383090000000003 × 6371000     		dr = 2440.66639000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15071361) × cos(0.04600319) × R
    0.000383489999999986 × 0.998942039854171 × 6371000     		do = 2440.62996612439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15071361) × cos(0.04562010) × R
    0.000383489999999986 × 0.998959583699079 × 6371000     		du = 2440.67282950575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04600319)-sin(0.04562010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998942039854171-0.998959583699079)×R²
    abs(0.15071361-0.15033012)×1.75438449083742e-05×R²
    0.000383489999999986×1.75438449083742e-05×6371000²
    0.000383489999999986×1.75438449083742e-05×40589641000000     		ar = 5956815.90920464m²