Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 864 / 800
↖ ↑ ↗
← S 70.612614°
E123.750000°		 ← 12.977 km → S 70.612614°
E124.101562°		 →
↑
12.939 km
↓
↑
12.939 km
↓
S 70.728980°
E123.750000°		 ← 12.902 km →
167.424 km²		 S 70.728980°
E124.101562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84423828125 y=0.78173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84423828125 × 210)
    floor (0.84423828125 × 1024)
    floor (864.5)     		tx = 864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78173828125 × 210)
    floor (0.78173828125 × 1024)
    floor (800.5)     		ty = 800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 864 / 800 ti = "10/864/800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/864/800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 864 ÷ 210
    864 ÷ 1024     		x = 0.84375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 800 ÷ 210
    800 ÷ 1024     		y = 0.78125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84375 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Λ = 2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78125 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.15984495} λ = 2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76714586759375))-π/2
    2×atan(0.170819836161558)-π/2
    2×0.1691868574588-π/2
    0.3383737149176-1.57079632675     		φ = -1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 864 KachelY 800 2.15984495 -1.23242261 123.750000 -70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 865 KachelY 800 2.16598087 -1.23242261 124.101562 -70.612614
    Unten links KachelX 864 KachelY + 1 801 2.15984495 -1.23445357 123.750000 -70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 865 KachelY + 1 801 2.16598087 -1.23445357 124.101562 -70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23242261--1.23445357) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dl = 12939.2461599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23242261--1.23445357) × R
    0.00203095999999992 × 6371000     		dr = 12939.2461599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.15984495-2.16598087) × cos(-1.23242261) × R
    0.00613591999999974 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 12976.7070632429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.15984495-2.16598087) × cos(-1.23445357) × R
    0.00613591999999974 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 12901.7881586442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23242261)-sin(-1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.330036986468592)×R²
    abs(2.16598087-2.15984495)×0.00191647926622429×R²
    0.00613591999999974×0.00191647926622429×6371000²
    0.00613591999999974×0.00191647926622429×40589641000000     		ar = 167424167.512435m²