Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8672 / 8672
↖ ↑ ↗
← S 10.487812°
E 10.546875°		 ← 2 402.46 m → S 10.487812°
E 10.568848°		 →
↑
2 402.31 m
↓
↑
2 402.31 m
↓
S 10.509416°
E 10.546875°		 ← 2 402.29 m →
5 771 260 m²		 S 10.509416°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529327392578125 y=0.529327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529327392578125 × 214)
    floor (0.529327392578125 × 16384)
    floor (8672.5)     		tx = 8672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529327392578125 × 214)
    floor (0.529327392578125 × 16384)
    floor (8672.5)     		ty = 8672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8672 / 8672 ti = "14/8672/8672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8672/8672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8672 ÷ 214
    8672 ÷ 16384     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8672 ÷ 214
    8672 ÷ 16384     		y = 0.529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529296875 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184077694541016))-π/2
    2×atan(0.83187116946714)-π/2
    2×0.693874739064199-π/2
    1.3877494781284-1.57079632675     		φ = -0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8672 KachelY 8672 0.18407769 -0.18304685 10.546875 -10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 8673 KachelY 8672 0.18446119 -0.18304685 10.568848 -10.487812
    Unten links KachelX 8672 KachelY + 1 8673 0.18407769 -0.18342392 10.546875 -10.509416
    Unten rechts KachelX + 1 8673 KachelY + 1 8673 0.18446119 -0.18342392 10.568848 -10.509416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18304685--0.18342392) × R
    0.000377069999999979 × 6371000     		dl = 2402.31296999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18304685--0.18342392) × R
    0.000377069999999979 × 6371000     		dr = 2402.31296999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18446119) × cos(-0.18304685) × R
    0.000383500000000009 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 2402.46023600113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18446119) × cos(-0.18342392) × R
    0.000383500000000009 × 0.983224944142355 × 6371000     		du = 2402.29236668677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18304685)-sin(-0.18342392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983224944142355)×R²
    abs(0.18446119-0.18407769)×6.8706581896949e-05×R²
    0.000383500000000009×6.8706581896949e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.8706581896949e-05×40589641000000     		ar = 5771259.81591961m²